Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch, aktualisierte Ausgabe

Starten Lernen Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Lineare Gleichungssysteme 7 Gaußsches Eliminationsverfahren Johann Carl Friedrich Gauß (1777−1855) war ein deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker. Wegen seiner überragenden wissenschaftlichen Leistungen galt er bereits zu seinen Lebzeiten als Princeps Mathematicorum („Fürst der Mathematiker“). Auch heute noch gibt es jedes Semester an einer deutschen Hochschule eine festliche Gauß-Vorlesung und wissenschaftliche Ehrungen wie die Carl-Friedrich-Gauß-Medaille der Braunschweigischen Akademie. Gauß veröffentlichte nur einen kleinen Teil seiner Entdeckungen. Der gesamte Umfang seines Werkes wurde erst bekannt, als man nach seinem Tod seine Tagebücher fand. Er legte die Grundlagen für viele mathematische, physikalische und astronomische Erkenntnisse. Bekannt ist die Gaußsche Glockenkurve, die Normalverteilung oder die Methode der kleinsten Quadrate. Die „Gaußsche Osterformel“ ermöglicht die Berechnung des Osterdatums für ein beliebiges Jahr. Das Gaußsche Eliminationsverfahren ermöglicht das Lösen von Gleichungssystemen mit mehreren Variablen. I: x + 3y − 2z = 1 II: 2x −  y + 2z = 11 III: x + 4y +  z = 19 1. Schritt: I: x + 3y − 2z = 1 + II: 2x −  y + 2z = 11 3x + 2y = 12 2. Schritt: I: x + 3y − 2z = 1 I: x + 3y − 2z = 1 + III: x + 4y +  z = 19 | · 2 III: 2x + 8y + 2z = 38 3x + 11y = 39 3. Schritt: 3x +   2y = 12 | · (−1) + 3x + 11y = 39 9y = 27 | : 9 y = 3 L = {(x | y | z) L = {( |3 | ) Erklärt einander, wie beim Gaußschen Eliminationsverfahren vorgegangen wird. Wie kommt man nach Berechnung der ersten Variablen zu den anderen? Was kann eine Lösung mit drei Koordinaten in der Geometrie bedeuten? Löse die linearen Gleichungssysteme mit drei Variablen. a) I: II: III: 2x + 3y − 2z 4x − 3y + z x − y − 4z = 15 = −7 = 6 b) I: II: III: 5x − 6y + z 2x + 2y − 5z 3x − 4y + 2z = 8 = −8 = 14 Die Summe dreier Zahlen beträgt 26. Die erste Zahl ist um 3 größer als die zweite Zahl und um 1 größer als die dritte Zahl. a) Berechne die Zahlen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. b) Überlege, ob ein anderes Lösungsverfahren einfacher zur Lösung führt. Eliminieren bedeutet „beseitigen“. Man rechnet so, dass eine Variable wegfällt. 888 C I1, H2–3, K2 889 I2, H2–3, K2 890 I2, H2, 3, K3 148 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv