Schritt für Schritt Mathematik 3, Schulbuch, aktualisierte Ausgabe

Starten Lernen Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Beweis mittels des Satzes des Ptolemäus Dieser Satz besagt, dass bei allen Vierecken, die einen Umkreis besitzen, folgende Formel gilt: (siehe linkes Bild) Damit gilt für Rechtecke: (siehe rechtes Bild) a ∙ c + b ∙ d = e ∙ f a ∙ a + b ∙ b = e ∙ e a 2 + b 2 = e 2 Überprüft den Satz indem jede/jeder in der Klasse in einen Kreis mit unterschiedlichem Radius a) ein beliebiges Viereck und b) ein Rechteck einzeichnet, die Seiten und Diagonalen abmisst und in die passende Formel einsetzt. Beweis mithilfe von Rotation a) Erkläre, warum das Quadrat (linke Figur) und das Viereck (rechte Figur) flächengleich sind. b) Führe den rechnerischen Beweis mithilfe der Anleitung durch. 1. Nenne die Formel für den Flächeninhalt des Quadrates (linke Figur): A 1 = 2. Das rechte Viereck besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, deren Flächeninhalt so berechnet wird: Dreieck 1: A =   c ∙ c  ___ 2  , Dreieck 2: A =   (a + b) ∙ (a − b)  _________ 2  Berechne den gesamten Flächeninhalt des Vierecks, indem du beide Dreiecksflächen addierst: A 2 = + 3. Da Quadrat und Viereck flächengleich sind, kannst du eine Gleichung aufstellen: A 1 = A 2 . + 4. Löse in deinem Heft die Gleichung, indem du die Klammern auflöst, die Gleichung mit zwei multiplizierst und umformst bis a 2 + b 2 = c 2 herauskommt. Beweis erbracht . c) Erkläre mit eigenen Worten, wie du mit dieser Methode den Satz des Pythagoras bewiesen hast. 640 B I3, H1–3, K2 a a a = c b b b = d d c e f e e Zwischenstopp: Geometrischer und algebraischer Beweis Hier gibt es zwei Möglichkeiten eines Beweises für den Satz des Pythagoras, nämlich geometrisch oder mittels Formelumformung . Versucht in Gruppenarbeit beide Beweise zu finden. Tipp: Die grüne Fläche berechnen bzw. anders zusammenfügen. 641 C I3, H1–3, K2 c (b – a)² 642 I3, H1–4, K3 a + b a Quadrat mit einem rechtwinkligen Dreieck rechtwinkliges Dreieck wird gemäß dem Pfeil gedreht und verschoben neu entstandenes Viereck, das aus zwei rechtwinkligen Dreiecken besteht a – b b a a a – b b a c c a + b c a – b c b a Dreieck 1 Dreieck 2 101 Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv