Anwendungen in der Geometrie 3.50 In einem Rechteck ist das Verhältnis der Seitenlängen 45. Verkürzt man die längere Seite um 2dm und verkürzt man die kürzere um 3dm, so wird der Flächeninhalt um 40dm2 kleiner. Berechne die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks! 3.51 Nourhan stellt folgende Überlegung an: „Verlängere ich die Breite meines rechteckigen Grundstücks um 20m und verkürze ich die Länge um 20m, so vergrößert sich der Flächeninhalt des Grundstücks um 1 200m2. Verlängere ich allerdings die Länge um 20m und verkürze die Breite um 20m, so verkleinert sich der Flächeninhalt stark und zwar um 2000m2.“ Christian behauptet, dass das bei seinem rechteckigen Grundstück auch der Fall ist, obwohl sein Grundstück andere Seitenlängen hat. Ist das möglich? Rechne nach und interpretiere das Ergebnis! 3.52 Der Flächeninhalt eines gleichschenkeligen Dreiecks beträgt 384mm2. Die Höhe h verhält sich zur Länge der Basis a wie 13. Erstelle ein Gleichungssystem und berechne die Höhe und die Länge der Basis! Verwende dazu die Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode)! Begründe, dass es sich hier nicht um ein lineares Gleichungssystem handelt! 3.53 Der Umfang eines Rechtecks beträgt 200 cm. Verkürzt man zwei gegenüberliegende Seiten um je 5 cm und verlängert die beiden anderen Seiten um je 5 cm, so verkleinert sich der Flächeninhalt um 25 cm2. Berechne die Längen der Rechtecksseiten! 3.54 Aus einem Rechteck soll ein kleineres Rechteck entstehen. Dazu wird die längere Seite um 4 cm und die andere um 2 cm verkürzt. Der Flächeninhalt des neuen Rechtecks ist um 64 cm2 kleiner als der Flächeninhalt des ursprünglichen. Verkürzt man die längere Seite jedoch um 8 cm und die andere um 3 cm, wird der Flächeninhalt um 100 cm2 verkleinert. Wie lang sind die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks? 3.55 Ali zeichnet gern gleichseitige Vielecke. Er hat dabei zwei Favoriten. Den ersten Favoriten zeichnet er zweimal und den anderen einmal auf ein Blatt Papier. Die Gesamtanzahl der Ecken beträgt 16. Seinem Bruder Detlef gefällt die Idee so gut, dass auch dieser seine beiden Lieblingsvielecke auf ein anderes Blatt Papier zeichnet. Er zeichnet drei Vielecke einer ersten Sorte und fünf einer anderen. Hier beträgt die Anzahl aller Ecken 45. Ali lacht und sagt: „Du musst mir auch alles nachmachen!“ In der nebenstehenden Grafik sind die Informationen über die Arten der Vielecke „versteckt“. 1) Versucht diese herauszufinden! Gebt auch eine mögliche Bedeutung der einzelnen Gleichungen an! 2) Zeichnet einen jeweiligen Vertreter von Alis Favoriten und euer Lieblingsvieleck! D O D O I D O A D O D O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 O y x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ali Detlef D O I B 87 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verla s öbv
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