3.45 Gib einen Überblick über Lösungsfälle und Lösungen des Gleichungssystems a y = 2 x + 1 6 y + 4 x = b mit den Variablen x und y und beliebigen reellen Zahlen a und b! Lösung: Um einen besseren Überblick über die Lösungsfälle zu haben, bringen wir die beiden Gleichungen in dieselbe Anordnung und schreiben sie untereinander an: ‒2 x + a y = 1 4 x + 6 y = b Wir wissen bereits, dass die Lösungsmengen von Gleichungen dieser Art als Geraden interpretiert werden können. 1. Fall: Hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, sind die Lösungsmengen der beiden Gleichungen zusammenfallende Geraden. Die beiden Gleichungen müssen demnach identisch sein. In der zweiten Gleichung ist der Koeffizient der Variablen x das (‒2)-Fache des entsprechenden Koeffizienten in der ersten Gleichung. Daher muss die gesamte zweite Gleichung das (‒2)-Fache der ersten Gleichung sein: ‒2 x – 3 y = 1 Somit wären a = ‒3 und b = ‒2. 4 x + 6 y = ‒2 2. Fall: Hat das Gleichungssystem keine Lösung, sind die Lösungsmengen der beiden Gleichungen verschiedene parallele Geraden. Dies bedeutet, dass nur die linke Seite der zweiten Gleichung das (‒2)-Fache der ersten Gleichung sein darf. Somit wäre a = ‒3, jedoch b ≠ ‒2. 3. Fall: Ist aber a ≠ ‒3, sind die Geraden sicher nicht parallel und es gibt genau eine Lösung (ein Zahlenpaar). Hierbei kann b eine beliebige reelle Zahl sein. 3.46 Ermittle a und b so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat! a) a x + 0,25 y = b b) ‒2 x + a y = 2 c) 2 x + 0,25 y = a d) ‒8 x – 5 y = 4 2 x + 4 y = 2 ‒2 x + 4 y = b x + 0,125 y = b a x + by = 1 3.47 Ermittle u bzw. u und v so, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat! a) u x – 2 y = 16 b) x – 2 y = 0 c) v x – 8 y = ‒1 d) x + 0,5 y = v 3 x + y = ‒7 u x + 2 y = 1 u x + 2 y = 3 5 x + u y = 5 3.48 Ermittle r, s und t so, dass das Gleichungssystem genau die eine Lösung (1 1 2) hat! a) r x + 4 y = s b) r x + s y = t t x + 4 y = 2 2 x + 4 y = 10 3.49 Die nebenstehende Grafik zeigt zwei Geraden. 1) Gebt ein dieser Grafik entsprechendes lineares Gleichungssystem mit den Variablen x und y sowie die Losung des Gleichungssystems an! 2) Ändert eine der beiden Gleichungen so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Losungen hat! Schreibt eure Überlegungen dazu auf! Notiert, wie sich die Grafik durch die neue Gleichung ändert! O I O I Ó O I Ó O I 1 -1 2 3 4 5 6 1 O y x 2 3 4 5 6 7 Ó D I A B Ó Werkzeug – 5b3k8w Ó 86 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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