3.2 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen Zwei lineare Gleichungen in zwei Variablen Eine lineare Gleichung in zwei Variablen a·x + b·y = c hat als Lösungsmenge unendlich viele Zahlenpaare (x 1 y), welche die Gleichung erfüllen. Diese Lösungsmenge ist eine Gerade. Ein einziges Zahlenpaar als Lösungsmenge kann man nur dann erhalten, wenn eine zusätzliche Information in Form einer weiteren linearen Gleichung gegeben ist. 3.22 Ein kleines Hotel hat 20 Zimmer. Insgesamt stehen 32 Betten zur Verfügung. Es sei e die Anzahl der Einzelzimmer und d die Anzahl der Doppelzimmer. 1) Stelle eine Gleichung in e und d zur Gesamtzahl der Zimmer auf! 2) Stelle eine Gleichung in e und d zur Gesamtzahl der Betten auf! 3) Veranschauliche die Lösungsmengen beider Gleichungen in einem Koordinatensystem und interpretiere das Ergebnis! Lösung: 1) e + d = 20 Die Gesamtzahl der Zimmer ist 20. 2) e + 2d = 32 D ie Bettenzahl in den Einzelzimmern plus die Bettenzahl in den Doppelzimmern ergibt insgesamt 32. 3) Da die Lösungsmenge beider Gleichungen je eine Gerade ist, müssen wir nur jeweils zwei Zahlenpaare finden, welche die Gleichung erfüllen, diese als Punkte einzeichnen und eine Gerade durchlegen: Für e + d = 20 und Zahlenpaare der Form (e 1 d) finden wir zB: (0 1 20) und (20 1 0). Für e + 2d = 32 und Zahlenpaare der Form (e 1 d) sind das zB: (0 1 16) und (32 1 0). Die beiden Geraden schneiden einander in einem Punkt, der dem Zahlenpaar (8 1 12) entspricht. Dies bedeutet: e = 8 und d = 12. In diesem Hotel gibt es also 8 Einzelzimmer und 12 Doppelzimmer. Liegen also zwei lineare Gleichungen vor, dann besteht die Möglichkeit, als Lösung genau ein Zahlenpaar zu erhalten. Es gibt aber noch zwei weitere Fälle: – Sind die Lösungsmengen der beiden Gleichungen verschiedene parallele Geraden, gibt es gar keine Lösung, da die Geraden einander nicht schneiden. – Sind die Lösungsmengen der beiden Gleichungen zusammenfallende Geraden, gibt es unendlich viele Lösungen, nämlich alle Zahlenpaare (Punkte) der Geraden. 8 6 4 2 10 12 14 16 18 2 4 6 8 O d e 10 16 18 12 14 20 24 26 28 22 30 32 34 36 2 4 6 8 10 12 14 16 18 4 6 8 2 O d e 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 D I 6 8 4 2 10 16 14 12 18 20 2 4 6 8 O d e 10 16 18 12 14 20 26 28 22 24 30 32 34 36 (0|20) (0|16) (8|12) (20|0) (32|0) 80 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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