Variablen, Terme, Gleichungen EXTRABLATT 2.7 Spezielle Gleichungen AUFGABEN Gleichungen der Form a·x + b = 0 (mit a ≠ 0) haben für die Variable x stets genau eine Lösung, und zwar: x = ‒ b _ a. Ist dies auch der Fall, wenn statt x die Potenz x2 in der Gleichung vorkommt? So kann zB die Gleichung 2 x2 – 18 = 0 so umgeformt werden: 2 x2 = 18, dh. x2 = 9. Jene Zahl x erfüllt nun diese Gleichung, die quadriert die Zahl 9 ergibt. Es sind aber zwei Zahlen, für die das gilt, nämlich 3 und ‒3, da 32 = 9 bzw. (‒3)2 = 9. Es gibt demnach Gleichungen, die mehr als eine Lösung haben. Vermutlich hängt dies damit zusammen, dass nicht mehr nur x, sondern x2 in der Gleichung vorkommt. Man könnte nun annehmen, dass alle Gleichungen, in denen die zweite Potenz einer Variablen vorkommt, auch zwei Lösungen haben. Probieren wir es aus: 5 x2 – 20 = 0 w 5 x2 = 20 w x2 = 4 Die Lösungen sind also x = 2 bzw. x = ‒2. 8 x2 = 0 w x2 = 0 Die einzige Lösung ist x = 0. 4 x2 + 100 = 0 w 4 x2 = ‒100 w x2 = ‒25 Keine reelle Zahl x erfüllt diese Gleichung. Diese drei Gleichungen zeigen, dass zumindest drei Lösungsfälle auftreten können: zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Mehr zu dieser Art von Gleichungen erfahrt ihr in Mathematik verstehen 5. 2.186 Gegeben sind drei Gleichungen. Versucht beim Lösen aller Gleichungen zeitsparend vorzugehen! 1) { 88 $ 2,5 – “ 1 – 1 _ 5 §+ “ 2 1 _ 3+ 0,75 §· 6 __ 37 % } 2 + x = 2023 2) { 88 $ 2,5 – “ 1 – 1 _ 5 §+ “ 2 1 _ 3+ 0,75 §· 6 __ 37 % } 2 + x = 2024 3) { 88 $ 2,5 – “ 1 – 1 _ 5 §+ “ 2 1 _ 3+ 0,75 §· 6 __ 37 % } 2 + x = 2025 2.187 Gegeben sind drei Aufgaben. Versucht diese so schnell wie möglich zu lösen! 1) Welche Zahl ist um 2 kleiner als ihr Drittel? 2) Löse 1x + 5x + 3x = 153! 3) Joel läuft doppelt so schnell, wie er geht. Auf dem Weg zur Schule läuft er zwei Drittel der Zeit und geht ein Drittel der Zeit. Dafür benötigt er insgesamt 18 Minuten. Wie lang braucht er für den Heimweg, wenn er zwei Drittel dieser Zeit geht und ein Drittel dieser Zeit läuft? 71 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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