2.5 Gleichungen aufstellen und lösen Gleichungen mit Bruchtermen 2.118 Dividiert man die Zahl 100 durch eine unbekannte Zahl, so entspricht dies einer Division der Zahl 125 durch die um 1 vermehrte unbekannte Zahl. Stelle hierzu eine Gleichung auf und ermittle, wie die unbekannte Zahl lautet! Beschreibe dein Vorgehen! Lösung: Es sei x die unbekannte Zahl. Dann gilt: 100 ___ x = 125 ___ x + 1 mit x ≠ 0 bzw. x ≠ ‒1. Anwenden einer Elementarumformungsregel: 100 = 125 ___ x + 1 · x Anwenden einer Elementarumformungsregel: 100·(x + 1) = 125·x Anwenden eines Distributivgesetzes: 100 x + 100 = 125 x Anwenden einer Elementarumformungsregel: 100 = 25 x Anwenden einer Elementarumformungsregel: x = 4 Elementarumformungsregeln Für Terme A, B, C gilt: A + B = C É A = C – B A·B = C É A = C __ B (B ≠ 0) A – B = C É A = C + B A __ B= C É A = C·B (B ≠ 0) 2.119 Entnimm der Abbildung die notwendigen Maße, stelle eine Verhältnisgleichung sowie eine Bruchgleichung auf und berechne damit die Länge a (Maße in cm)! Lösung: Verhältnisgleichung: 80(a + 60) = 32a Bruchgleichung: 80 ____ a + 60 = 32 __ a Zweimaliges Anwenden einer Elementarumformungsregel führt zu: 80·a = 32·(a + 60) 80a = 32a + 1 920 48a = 1 920 a = 40 Es ist a = 40 cm. Für Terme A, B, C, D gilt: Bruchgleichungen lassen sich unter zweimaliger Anwendung einer Elementarumformungsregel durch „kreuzweises Ausmultiplizieren“ in eine Produktgleichung überführen. A __ B = C __ D É A·D = C·B (B, D ≠ 0) 2.120 Löse die Gleichung 2 ___ x + 2 + 1 = 1 _ 2(x ≠ ‒2)! Lösung: Der gemeinsame Nenner (Hauptnenner) ist 2·(x + 2): 2·2 _____ 2·(x + 2) + 2·(x + 2) _____ 2·(x + 2) = x + 2 _____ 2·(x + 2) 4 + 2·(x + 2) _______ 2·(x + 2) = x + 2 _____ 2·(x + 2) Nun können beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert werden. Es bleibt übrig: 4 + 2·(x + 2) = x + 2 w 2 x + 8 = x + 2 w x = ‒6 O A D O a 60 32 80 O 59 Variablen, Terme, Gleichungen 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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