2.3 Eigenschaften von Bruchtermen 2.59 Es sei p3 das Volumen und p2 der Grundflächeninhalt eines Würfels. Berechne die Kantenlänge des Würfels! Lösung: p3p2 = p3 __ p2 = p3 – 2 = p1 = p Die Kantenlänge des Würfels ist p. Wird ein Term durch eine Variable oder einen weiteren Term mit Variablen dividiert, so ist darauf zu achten, dass der Divisor bzw. der Nenner eine Zahl ungleich 0 ist. Andernfalls würde es sich nicht um einen sinnvollen mathematischen Ausdruck handeln. In Aufgabe 2.59 wäre etwa eine Kante der Länge 0 nicht sinnvoll. Terme, bei denen Variablen im Nenner stehen, nennt man Bruchterme. Beispiele: p3 __ p2 ; ‒ 5 _ a ; c ___ c + 4 ; 4 x __ x 5 ; ‒ 1 ____ h3 + h2 ; 4 r 2 + 7r – 3 _______ r – 2 s Dass bei Bruchtermen im Nenner unbestimmte Zahlen stehen, bringt das Risiko mit sich, dass eine Division durch null erfolgen könnte. Daher ist es wichtig, stets jene Werte auszuschließen, bei denen der Nenner 0 wäre. Überdies ist der Ausdruck 0 _ 0gar nicht definiert. 2.60 Gegeben ist der Term c ___ c + 4 . 1) Gib den Wert an, den die Variable c nicht annehmen darf! 2) Zeige, was passieren würde, hätte c den gesuchten Wert! Lösung: 1) Da der Nenner nicht 0 sein darf, muss gelten: c + 4 ≠ 0, dh. c ≠ ‒4. 2) Wäre c = ‒4, so entstände der Quotient ‒4 ____ ‒4 + 4 = ‒4 __ 0 . Dies stellt jedoch einen mathematisch nicht sinnvollen Ausdruck dar. 2.61 Gegeben ist der Term 4 r 2 + 7r – 3 _______ r – 2 s . Was muss für die beiden Variablen r und s gelten? Lösung: Da der Nenner nicht 0 sein darf, muss gelten: r – 2 s ≠ 0, dh. r ≠ 2 s. 2.62 Gegeben ist der Term a) 1 _____ x·(x – 2), b) 1 ________ (x + 3)·(x – 5). Gib die Werte an, die x nicht annehmen darf! Lösung: a) Da der Nenner nicht 0 sein darf, muss gelten: x·(x – 2) ≠ 0. Ist ein Faktor 0, ist das Produkt gleich 0, dh.: x ≠ 0 oder x – 2 ≠ 0, also x ≠ 0 oder x ≠ 2. b) Da der Nenner nicht 0 sein darf, muss gelten: (x + 3)·(x – 5) ≠ 0. Ist ein Faktor 0, ist das Produkt gleich 0, dh.: x + 3 ≠ 0 oder x – 5 ≠ 0, also x ≠ ‒3 oder x ≠ 5. In Aufgabe 2.62 ist ein grundlegender mathematischer Satz angewendet worden. In beiden Teilaufgaben ist der Nenner ein Produkt, das nicht gleich 0 sein darf. Ist in 2.62 a) x = 0, so ist auch das Produkt gleich 0. Dies ist aber auch der Fall, wenn x = 2; denn dann ist der zweite Faktor (x – 2) gleich 0 und damit auch das gesamte Produkt. Ähnliches gilt für 2.62 b). O O I A O I D O I 50 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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