Beliebig genaues Nähern mit Schranken 1.97 Begründe, dass die Zahl 9__ 200sicher irrational ist! Gib jeweils eine natürliche Zahl als untere und als obere Schranke für 9__ 200an! Lösung: Die Zahl 9__ 200ist sicher irrational, da 200 keine Quadratzahl ist. Da 142 = 196 und 152 = 225 und somit 196 < 200 < 225, muss gelten: 14 < 9__ 200< 15. Die Zahl 14 ist eine untere Schranke und die Zahl 15 eine obere Schranke von 9__ 200. Gilt a ª x ª b (mit a, b, x * R), dann nennt man a eine untere Schranke und b eine obere Schranke von x. Bemerkung: Jede kleinere Zahl als a ist ebenfalls eine untere Schranke von x und jede größere Zahl als b ist ebenfalls eine obere Schranke von x. Die Zahl 9__ 200lässt sich mit nur wenigen Rechenschritten beliebig genau annähern. Die Anfangsüberlegung lautet: Man sucht zwei Zahlen p1 und q1, deren Produkt 200 ergibt. Setzt man zB p1 = 10 und q1 = 20, erhält man 10·20 = 200. Eine erste Ungleichungskette ist gefunden: 10 ª 9__ 200ª 20. Die Zahl 9__ 200befindet sich demnach in einer Teil- menge von R, die links von 10 und rechts von 20 begrenzt ist, dem Intervall [10; 20]. Man schreibt: 9__ 200* [10; 20]. Nun bildet man das arithmetische Mittel _ x 1aus den Faktoren p1 und q1: _ x 1 = 10 + 20 _____ 2 = 15 Die nächste Überlegung lautet: Man sucht jene Zahl, mit der 15 multipliziert werden muss, damit das Ergebnis 200 ist. Dazu rechnet man 20015 = 13, • 3. Damit sind die beiden Faktoren p2 = 13, • 3 und q2 = 15 ermittelt. Eine zweite Ungleichungskette ist gefunden: 13, • 3ª 9__ 200ª 15. Es gilt: 9__ 200* [13, • 3; 15]. Nun verfährt man wie vorhin: Man bildet das arithmetische Mittel _ x 2aus den Faktoren p2 und q2: _ x 2 = 13, • 3+ 15 _____ 2 = 14,1 • 6 Dann sucht man den zweiten Faktor mit der Division 20014,1 • 6≈ 14,118 und erhält die beiden Faktoren p3 ≈ 14,118 und q3 = 14,1 • 6. Eine dritte Ungleichungskette ist gefunden: 14,118 ª 9__ 200ª 14,1 • 6 Es gilt: 9__ 200* [14,118; 14,1 • 6]. Im nächsten Schritt erhält man p4 ≈ 14,14211438 und q4 ≈ 14,14215686 und somit die vierte Ungleichungskette: 14,14211438 ª 9__ 200 ª 14,14215686. In nur vier Annäherungsschritten sind die untere und die obere Schranke bereits bis zur vierten Nachkommaziffer identisch. Ein guter Näherungswert ist gefunden. Weitere Annäherungsschritte können diesen noch genauer bestimmen. Diese Art der Näherung nennt man das HERON’sche Näherungsverfahren, benannt nach dem griechischen Mathematiker HERON von Alexandria (um 75 n. Chr.). D A Ó 10 20 10 13,3 15 20 10 14,118 14,16 15 20 13,3 Ó Demo – t3tt3i 31 Reelle Zahlen 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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