Grundfläche, einer Spitze und einer gekrümmten Mantelfläche. Die Mantelfläche ist – in der Ebene ausgerollt – ein Kreissektor. 1) VDrehzylinder = G·h = r 2·π·h ; VDrehkegel = G·h _ 3 = r2·π·h _ 3 2) ODrehzylinder = 2·G + M = 2·r 2·π + 2·r·π·h; ODrehkegel = G + M = r 2·π + r·π·s 7.127 1) V = 4 r 3 π ___ 3 Das Volumen einer Halbkugel lässt sich mit Hilfe der Differenz des Volumens eines Drehzylinders und eines Drehkegels ermitteln. 2) O = 4 r2 π Der Oberflächeninhalt lässt sich mit Hilfe der Formel für das Kugelvolumen und der Idee lauter kleiner pyramidenähnlicher Körper mit der Höhe r herleiten, deren Spitzen im Kugelmittelpunkt liegen und deren Summe der Grundflächeninhalte den Oberflächeninhalt der Kugel ergibt. Kompetenzcheck 7.132 7.133 7.134 a) VDrehzylinder ≈ 211,72 cm3, VDrehkegel ≈ 70,57cm3 b) ODrehzylinder ≈ 199,05 cm2, ODrehkegel ≈ 112,24 cm2 7.135 1) Es passten ca. 2514m3 Wasserstoff in den Ballon. 2) Das verwendete Material hatte eine Masse von 0,391 kg/m2. 7.136 1) A = r h __ 2 2) Vh = r2 π h ___ 3 3) Vr = h2 π r ___ 3 4) Es liegt jeweils ein unterschiedlicher Grundflächeninhalt (r2 π bzw. h2 π) sowie eine unterschiedliche Höhe (h bzw. r) vor. 7.137 1) V = a 2 πb _ 2 2) a = 9 ___ 2V _ π bund b = 2V _ a2 π 7.138 7.139 7.140 7.141 Es wird Farbe für 2,99m2 Fläche benötigt. 7.142 V = 0,225d3 π 7.143 Man berechnet damit das Volumen einer Hohlkugel, deren äußerer Radius r1 und deren innerer Radius r2 ist. 7.144 1) Das Kugelvolumen macht ca. 52,4% des Würfelvolumens aus. 2) Seien r der Radius der Kugel, a die Kantenlänge des Würfels und V = 1, dann sind r = 3 9 ___ 3 __ 4 π und a = 1 w OKugel = 4 π· 3 9 ____ 9 ___ 16 π2 ≈ 4,84 und OWürfel = 6 w OWürfel > OKugel 3) Seien r der Radius der Kugel, a die Kantenlänge des Würfels und O = 1, dann sind r = 9 ___ 1 __ 4 π und a = 9 __ 1 _ 6 w VKugel = 4 π __ 3 9 ____ 1 ___ 64 π3 ≈ 0,09 und VWürfel = 9 ___ 1 ___ 216 ≈ 0,068 w VKugel > VWürfel 4) r = a· 3 9 ___ 3 __ 4 π 8 Zentralmaße und Streuungsmaße Wiederholung: Wissen 8.102 1) Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels _ xwird die Summe der Daten einer Liste durch die Anzahl der Daten dividiert. 2) Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert einer Liste. 3) Bei einer ungeraden Anzahl von Daten ist der Median q2 der in der Mitte liegende Wert der geordneten Liste. Bei einer geraden Anzahl von Daten wird der Median q2 als arithmetisches Mittel der beiden in der Mitte der geordneten Liste liegenen Werte berechnet. 8.103 1) Bei der Berechnung des geometrischen Mittels _ x gzweier Zahlen wird die Wurzel aus dem Produkt der beiden Zahlen gezogen. Das geometrische Mittel wird bei der Berechnung von mittleren prozentuellen Zu- oder Abnahmen sowie bei geometrischen Aufgaben verwendet. 2) Bei der Berechnung des harmonischen Mittels _ x hzweier Zahlen wird das Produkt beider Zahlen verdoppelt und durch die Summe der Zahlen dividiert. Das harmonische Mittel wird zB für die Ermittlung der Durchschnittsgeschwindigkeit zweier unterschiedlicher Geschwindigkeiten auf einer gleich langen Strecke eingesetzt. 8.104 Im Kastenschaubild werden fünf statistische Kennzahlen – Minimum, q 1, q 2, q 3, Maximum – folgendermaßen dargestellt: Mit Hilfe eines passenden Ausschnitts der Zahlengeraden werden die fünf genannten Kennzahlen als vertikale Strecken dargestellt; die Strecken für q 1 und q 3werden zu einem Rechteck verbunden; zwei weitere horizontale Strecken verbinden das Minimum mit q 1bzw. q 3mit dem Maximum. Ca. 50% der Daten liegen im Rechteck zwischen q 1 und q 3und jeweils ca. 25% der Daten liegen zwischen dem Minimum und q 1 bzw. q 3und dem Maximum. Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum. Kompetenzcheck 8.106 1) _ x= 5,4 2) q 2= 5,5 3) Modus = 4 8.107 1) _ x= 19,5 2) _ x g ≈ 18,7 3) _ x h ≈ 17,9 8.108 1) 1,04·1,05 = 1,092 D er Strompreis nahm in den beiden Jahren um 9,2 % zu. 2) _ x g = 9 _______ 1,04·1,05= 9 ____ 1,092≈ 1,0449 Die mittlere prozentuelle Zunahme der Kosten betrug in einem Jahr ca. 4,5 % . 8.109 _ x h = 2·15·13 __ 15 + 13 = 13,928… ≈ 13,9 (km/h) Er lief mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von ca. 13,9 km/h. 8.110 Das höchste Haus ist 25,55m hoch. 8.111 Liste A: _ x= 14. Es wird keine Formel für die Berechnung von _ xbenötigt, da acht Daten gleich sind, nämlich 14; ein Datum ist um zwei kleiner und ein weiteres Datum um zwei größer als 14: Das arithmetische Mittel dieser Zahlen ist ebenfalls 14. Liste B: _ x= 16. Es wird keine Formel für die Berechnung von _ xbenötigt, da das arithmetische Mittel der ersten und der sechsten (letzten) Zahl, der zweiten und der fünften Zahl sowie der dritten und der vierten Zahl stets 16 ergibt. 8.112 a) b) 8.113 1) In 20 Geschäften wurde der Preis untersucht. 2) Der Modus liegt bei 90€. 3) _ x= 84,75€ 4) geordnete Liste der Preise: 75, 75, 75, 80, 80, 80, 80, 80, 85, 85, 85, 85, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 95, 95; q 2= 85€ 8.114 Das arithmetische Mittel der Körpergrößen der fünf Kinder ist _ x= 152 cm. Fünf Monate später ist das neue arithmetische Mittel _ x neu um 2 größer als das berechnete arithmetische Mittel, da alle fünf Kinder jeweils um zwei Zentimeter gewachsen sind: _ x neu = 143 + 2 + 146 + 2 + 150 + 2 + 158 + 2 + 163 + 2 _________________________ 5 = = 143 + 146 + 150 + 158 + 163 + 5·2 ___________________ 5 = _ x+ 5·2 ___ 5 = _ x+ 2 8.115 Von einer Datenliste beträgt das arithmetische Mittel _ x= 62. Es werden drei Daten, nämlich 62, 62, 62 hinzugefügt. Das neue arithmetische Mittel ist _ x neu= _ x= 62. Das neue arithmetische Mittel muss nicht mit der Formel berechnet werden, da drei Daten dazukommen, die gleich dem arithmetischen Mittel sind: Deckfläche Höhe Mantelfläche Erzeugende Grundfläche Radius Spitze Höhe Erzeugende Mantelfläche Grundfläche Radius Radius eines Drehkegels C Höhe eines Drehzylinders D Radius einer Kugel E Höhe eines Drehkegels A Radius eines Drehzylinders B 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 283 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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