5.176 5.177 a = 9 _______ 1,92 + 3,72= 9 ___ 17,3 ≈ 4,2 (cm) x = 9 _______ 5,52 – 1,92 = 9 ____ 26,64≈ 5,2 (cm) c = 5,2 + 3,7 = 8,9 (cm) A = 8,9·1,9 _ 2 = 8,455 (cm2) u = 4,2 + 5,5 + 8,9 = 18,6 (cm) 5.178 A = a 2 9 __ 3 _ 4 w a 2 = 4·A _ 9 __ 3 = 4·1,3 _ 9 __ 3 = 3,002… w a = 9 ______ 3,002…≈ 1,7 (m) h = a 9 __ 3 _ 2 = 1,7· 9 __ 3 _ 2 ≈ 1,5 (m) 5.179 x = 9 _____ b2 – h a 2= 9 ________ 4,42 – 3,22 ≈ 3 (cm) e = 9 _________ (a + x)2 + h a 2= 9 ___________ (6,5 + 3)2 + 3,22 ≈ 10 (cm) f = 9 _________ (a – x)2 + h a 2= 9 ___________ (6,5 – 3)2 + 3,22 ≈ 4,7 (cm) 5.180 1) b = 9 _____ x2 + x2= 9 ___ 2x2= x 9 __ 2 2) d = 9 _______ (2 x)2 + x2= 9 ___ 5x2= x 9 __ 5 3) A = (3 x + x)·x __ 2 = 4 x2 _ 2 = 2 x 2 4) u = 3 x + 2·x 9 __ 2+ x = 4 x + 2 x 9 __ 2 = 2 x(2 + 9 __ 2) 5.181 Ja, denn der Flächeninhalt des Deltoids ist genau die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen e und f, dh. A = e·f __ 2 = 7·4 ___ 2 = 14 (cm2). Kontrolle: A = (e – z)·f _ 2 + z· f _ 2 = e·f __ 2 – z·f __ 2 + z·f __ 2 = e·f __ 2 = 7·4 ___ 2 = 14 (cm2) 5.182 5.183 1) 2) d1 = a 9 __ 2= 0,75 9 __ 2 ≈ 1,1 (m) d2 = d3 = 9 _____ a2 + h2= 9 ________ 0,752 + 1,52 = 9 _____ 2,8125 ≈ 1,7 (m) d = 9 ________ a2 + a2 + h2= 9 __________ 2·0,752 + 1,52 = 9 ____ 3,375 ≈ 1,8 (m) 5.184 6 Die Kreiszahl π Wiederholung: Wissen 6.92 Die Kreiszahl π misst das Verhältnis zwischen dem Kreisumfang und dem Kreisdurchmesser. Da der Umfang eines Kreises immer etwas länger als das Dreifache seines Durchmessers ist, ist π etwas größer als 3 und 3 damit ein Näherungswert für π. Der Taschenrechner liefert nur eine Näherung von π, weil π irrational ist und damit eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung hat. 6.93 Schreibt man einem Kreis ein regelmäßiges n-Eck ein und ein regelmäßiges n-Eck um, so sind die Umfänge der n-Ecke Schranken für den Umfang u des Kreises: ue < u < uu. Die untere Schranke ue und die obere Schranke uu liegen dabei umso näher an u, je größer die Anzahl n der Ecken ist. 6.94 Teilt man eine Kreisfläche in viele Kreissektoren ein und reiht man diese nebeneinander so an, dass abwechselnd einmal die Spitze oben, einmal unten ist, ergibt sich annähernd ein Parallelogramm mit der Höhe r und der Grundseitenlänge r π. Da r·r π = r2 π, ist dies eine Möglichkeit, sich einer Formel für den Flächeninhalt eines Kreises anzunähern. 6.95 1) Eine Kreissehne s verbindet zwei Punkte A und B der Kreislinie durch eine Strecke. Die längste Kreissehne geht durch den Kreismittelpunkt (= Durchmesser d). 2) Ein Kreisbogen b ist ein Teil der Kreislinie. Seine Länge ist von seinem Anteil am Kreisumfang abhängig und wird berechnet durch: b = u _ 360° · α = r·π·α _ 180° ; α = ¼BMA (= Zentriwinkel) 3) Ein Kreissektor ist ein Teil der Kreisfläche, der durch zwei Radien r und den Kreisbogen b begrenzt wird. Sein Flächeninhalt ist von seinem Anteil an der Kreisfläche AK abhängig und wird berechnet durch: A = AK _ 360°·α = r2·π·α _ 360° = b·r _ 2 ; α = ¼BMA (= Zentriwinkel) 4) Ein Kreissegment ist die Differenz aus einem Kreissektor und dem aus den beiden Radien und der Kreissehne gebildeten gleichschenkeligen Dreieck. Kompetenzcheck 6.97 Der Kreisumfang ist das π-Fache des Kreisdurchmessers, denn das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser ist stets konstant, nämlich π, daher u _ d= π. 6.98 a) u = d·π = 4,5·π ≈ 14,1 (cm) b) u = 2·r·π = 2·0,9·π ≈ 5,7 (m) 6.99 u = d·π w d = u _ π = 6 _ π ≈ 1,9 (m) 6.100 Er wird verdreifacht. 6.101 a) b ≈ 7,85 cm b) α = 45° 6.102 Solveig hat den größeren Kreis gezeichnet. Der Flächeninhalt ihres Kreises beträgt ca. 227cm2, während Gibrils Kreis einen Durchmesser von ca. 15,8 cm hat. 6.103 A ≈ 314m2 6.104 1) d = 25 cm 2) u ≈ 78,5 cm 3) ≈ 190,87 cm2 4) 6.105 ≈ 4,4m 6.106 1) uB < uA < uC 2) AB < AA < AC Figur A ist Umkreis von Figur B und Inkreis von Figur C. Der Umfang/Flächeninhalt von Figur B ist untere Schranke, der Umfang/Flächeninhalt von Figur C ist obere Schranke für den Umfang/Flächeninhalt des Kreises (= Figur A). Es gilt daher: uB < uA < uC und AB < AA < AC. 6.107 ≈ 1178,10 cm2 6.108 6.109 1) u = 4·r·π A = 4 r2 ‒ “ r2 ‒ r 2·π _ 4 §·2 5·4 = 4 r2 ‒ 2r2 + r 2·π _ 2 5·4 = 2·r 2·π ‒ 4·r2 2) u = 4·10·π = 40·π (cm) A = 2·102·π ‒ 4·102 = 200·π ‒ 400 = 200·(π ‒ 2) (cm2) 6.110 1) A ≈ 1 944 cm2 2) Es werden ca. 30% der Heckscheibe gesäubert. 6.111 6.112 Der Radius r2 muss ca. 70,71% der Länge des Radius r1 haben. Lösungsweg: Ainnen = r2 2 π; A Kreisring = r1 2 π – r 2 2 π; r2 2 π = r 1 2 π – r 2 2 π w 2 r 2 2 π = r 1 2 π w 2 r2 2 = r 1 2 w r 2 2 = r 1 2 __ 2 w r2 = r 1 __ 9 __ 2 = r 1 9 __ 2 ___ 2 ≈ 0,7071·r 1 7 Rotationskörper Wiederholung: Wissen 7.125 Bei einem Rotationskörper wird die Oberfläche des Körpers durch Rotation einer erzeugenden Linie um eine Rotationsachse gebildet. Dabei liegen Linie und Achse zunächst in einer Ebene. 1) Ein Drehzylinder entsteht durch Rotation eines Rechtecks, wobei eine Rechteckseite auf der Rotationsachse liegt. 2) Ein Drehkegel entsteht durch Rotation eines rechtwinkeligen Dreiecks, bei dem eine Kathete auf der Rotationsachse liegt. 3) Eine Kugel entsteht durch Rotation eines Halbkreises, dessen Durchmesser auf der Rotationachse liegt. 7.126 Ein Drehzylinder besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer dazu kongruenten und parallelen Deckfläche sowie einer gekrümmten Mantelfläche. Die Mantelfläche ist – in der Ebene ausgerollt – ein Rechteck. Ein Drehkegel besteht aus einer kreisförmigen a d1 d2 d3 a a a a a 2a r r b s M α B A M 20 cm 15 cm d A B C 15 cm Flächeninhalt des Kreissegments in cm2 D Umfang des Kreises in cm E Flächeninhalt des Kreissektors in cm2 C Flächeninhalt des Kreises in cm2 A Länge eines Kreisbogens in cm B 282 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
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