Lösungen 1 Reelle Zahlen Wiederholung: Wissen 1.135 Eine irrationale Zahl hat eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung. Daher lässt sie sich nur mit beliebiger Genauigkeit angeben. 1.136 Die Wurzel aus einer positiven reellen Zahl kann eine natürliche, eine positive rationale oder eine positive irrationale Zahl sein. 1.137 Kommutativgesetz der Multiplikation: a·b = b·a; Assoziativgesetz der Multiplikation: (a·b)·c = a·(b·c); Gesetz vom neutralen Element: a·1 = a; Gesetz von den inversen Elementen: a· 1 _ a= 1 (a ≠ 0) Kompetenzcheck 1.140 1.141 1.142 1.143 Der Umfang des Bodens beträgt 6,4m. 1.144 Die Kantenlänge des Kartons beträgt ca. 4,64dm. 1.145 Es ist 49 eine Quadratzahl, 50 nicht. 1.146 a) ZB: 4 ª 9 __ 23ª 5 c) ZB: 19 ª 9 ___ 399ª 20 b) ZB: 10 ª 9 ___ 101ª 11 1.147 a) a = 9 cm b) a = 4dm c) a = 7mm 1.148 1.149 1.150 a) 8 b) 12 c) 9 d) 2 1.151 a) Die Gleichung ist falsch, denn 9 __ a+ 9 __ b≠ 9 ____ a + b(a, b º 0) und somit: 14≠10. b) D ie Gleichung ist richtig, denn 9 __ a· 9 __ b= 9 ___ a·b(a, b º 0) und somit: 20 = 20. c) D ie Gleichung ist richtig, denn 9 ___ a·b= 9 __ a· 9 __ b(a, b º 0) und somit: 9 __ 60= 9 ____ 4·15= 9 __ 4· 9 __ 15= 2· 9 __ 15 1.152 ≠ = = ≠ = = 1.153 Die Zahl 9 ___ 162ist die Maßzahl der Diagonalenlänge eines Quadrats mit der Seitenlänge 9, denn 9 _____ 92 + 92= 9 ___ 162. 1.154 Sie hat richtig gerechnet. Die Angabe von neun Nachkommaziffern ist jedoch für ein Endergebnis nicht sinnvoll, da meist nur auf Millimeter genau gezeichnet werden kann. Eine sinnvolle Angabe wäre hier etwa h ≈ 6,1 cm. (Sollte aber mit dem Ergebnis weitergerechnet werden müssen, so wäre es zweckmäßig, dieses im Taschenrechner zu speichern und für weitere Eingaben damit weiterzurechnen.) 1.155 Ja, dies gilt für Zahlen 0 < x < 1, denn das Quadrat einer solchen Zahl x ist stets kleiner als x. ZB: 9 __ 1 _ 4 = 1 _ 2, da “ 1 _ 2 § 2 = 1 _ 4oder 9 ___ 0,01= 0,1, da 0,12 = 0,01. 1.156 Nein, es handelt sich um eine rationale Zahl, da sie ja als Bruch 1 __ 17dargestellt ist. Hätte er sich noch mehr Nachkommaziffern angesehen, wäre etwa bei 0,0588235294117647058823529411764705882… erkennbar gewesen, dass es sich um eine Zahl in periodischer Dezimaldarstellung handelt: 1 __ 17= 0, ______________ 0588235294117647. 2 Variablen, Terme, Gleichungen Wiederholung: Wissen 2.183 ZB: Herausheben eines gemeinsamen Faktors, Ausmultiplizieren, Erweitern, Kürzen, … 2.184 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (A + B)·(A – B) = A2 – B2 2.185 Terme, bei denen Variablen in Nenner stehen, nennt man Bruchterme. Es muss darauf geachtet werden, Werte auszuschließen, bei denen der Nenner 0 wäre. Kompetenzcheck 2.188 1) ZB: x + x 2) ZB: x – (‒x) 3) ZB: 4 x __ 2 2.189 Differenz 2.190 a) 5 y·(2 x ‒ 1) b) (‒3a)·(a2 + 2a + 6) 2.191 2.192 ≠ ≠ = = ≠ ≠ = = = 2.193 2.194 2.195 a) 2 _ g b) 9 r2 – 1 ____ 9 r2 c) 2 d) 1 ___ u – v 2.196 a) 2 _ 5 b) ‒ 1 ___ 2d f 2.197 Gleichung: 5 ‒ u _ 8 ‒ u = 4 _ 5 ; u ≠ 8; Lösung: u = ‒7; Die Zahl lautet ‒7. 2.198 2.199 Die Länge des Rechtecks ist (p + q) da (p + q)·(p – q) = p2 – q2. 2.200 a) k ≠ ‒ 1 _ 3; k = ‒7 b) w ≠ ‒1, w ≠ 1; w = ‒2 c) z ≠ ‒2, z ≠ ‒1; keine Lösung 2.201 1) a + b > c 2) a·b ___ 2 > 100 3) a + b + c > 50 4) Nein, denn c < a + b. 2.202 1) 2 _ 3 x + x + (x + 5000) = 80000 Es sind x die Kosten der Firma B, auf die sich die Kosten der beiden anderen Firmen beziehen. 2) A: 18750 € B: 28125 € C: 33125 € 2.203 2.204 1) n + (n + 1) = 2n + 1 2) (n + 1)2 – n2 = 2n + 1 In beiden Fällen handelt es sich um denselben Term. 3 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Wiederholung: Wissen 3.68 Jedes Zahlenpaar (x 1 y), das eine lineare Gleichung in den Variablen x und y erfüllt, nennt man Lösung der Gleichung. 3.69 a·x + b·y = c 1. Spezialfall: Gilt a = 0, so kann x beliebige Werte annehmen. Die grafische Darstellung der Lösungsmenge ist in diesem Fall eine Gerade parallel zur 1. Achse durch den Punkt “ 0 ! c _ b §. 2. Spezialfall: Ist b = 0, so kann y beliebige Werte annehmen. Die grafische Darstellung der Lösungsmenge ist in diesem Fall eine Gerade parallel zur 2. Achse durch den Punkt “ c _ a ! 0 §. 3.70 Substitutionsmethode: Eine Variable wird aus einer Gleichung durch die andere Variable ausgedrückt. Der erhaltene Term wird anschließend in die andere Gleichung eingesetzt. Eliminationsmethode: Die Gleichungen werden bei Bedarf einzeln derart mit geeigneten Zahlen multipliziert, dass bei Addition der beiden Gleichungen eine Variable wegfällt. Komparationsmethode: Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Variable durch die andere ausgedrückt. Dann werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt. Kompetenzcheck 3.73 1) 0,2·x + 0,5·y = 5 2) (25 | 0), (20 | 2), (15 | 4), (10 | 6), (5 | 8), (0 | 10) 3) N Z Q R N Z Q R 8 _ 2 9 ___ 196 15,7 ‒10 9 _ 3 0,123123123… ‒2, • 6 424,0 0 ‒ 1 _ 7 9 ___ 900 0,5 9 __ 1 _ 64 30 9 _ 1 _ 4 1 _ 8 9 ___ 4 _ 100 0,2 9 ____ 2,25 0,04 9 _____ 0,0016 1,5 9 9 √162 durchführbar nicht durchführbar Ergebnis 3 xy2 + y2 ‒4a3 10u3 + 2u4 a b c d 5 10 15 5 O y x 10 15 20 25 280 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verla s öbv
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