Dreiecke Ein Dreieck ist eine ebene Figur mit drei Seiten, drei Eckpunkten und drei Winkeln. Die Summe der Winkelmaße ist in jedem Dreieck 180°. Je zwei Seiten sind zusammen länger als die dritte Seite (Dreiecksungleichung). Man unterscheidet spitzwinkelige (Abb. 9.1), stumpfwinkelige (Abb. 9.2), gleichschenkelige (Abb. 9.3), gleichseitige (Abb. 9.4), rechtwinkelige (Abb. 9.5) und rechtwinkelig-gleichschenkelige Dreiecke (Abb. 9.6). α α < 90°; β < 90°; γ < 90° A c B a C b β γ β > 90° α A c B a C b β γ α = β; a = b α A c B a C b β γ Abb. 9.1 Abb. 9.2 Abb. 9.3 α = β = γ = 60°; a = b = c α A c B a C b β γ γ = 90° α A c B a C b β A c B a C b 45° 45° α = 45°; β = 45°; γ = 90° Abb. 9.4 Abb. 9.5 Abb. 9.6 Umfang u eines Dreiecks: u = a + b + c Flächeninhalt A eines Dreiecks: A = a·h a ___ 2 = b·h b ___ 2 = c·h c ___ 2 (mit den Höhen ha, hb, hc) Spezialfälle: gleichseitiges Dreieck: u = 3a h = a· 9_ 3 _ 2 A = a2· 9_ 3 _ 4 rechtwinkeliges Dreieck: A = ab __ 2 (mit den Kathetenlängen a, b) In jedem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b, der Hypotenusenlänge c sowie den Hypotenusenlängenabschnitten p und q gelten die folgenden Sätze: Pythagoräischer Lehrsatz: a2 + b2 = c2 Die Summe der beiden Kathetenlängenquadrate ist gleich dem Hypotenusenlängenquadrat. Kathetensatz: a2 = c p und b2 = c q Höhensatz: h2 = pq Dreiecke, bei denen entsprechende Seiten gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß sind, nennt man kongruent. Besondere Punkte beim Dreieck sind der Umkreismittelpunkt, der Inkreismittelpunkt, die Ankreismittelpunkte, der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt. a b q p c h 242 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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