1.3 Mit Wurzeln rechnen Addieren und subtrahieren 1.51 Gegeben sind zwei rechtwinkelige Dreiecke. Berechne die jeweils fehlende Seitenlänge! 15 8 p k 8 10 Lösung: Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt: p2 = 82 + 152 w p = 9 ____ 8 2 + 152 = 9_____ 64 + 225= 9__ 289= 17 k2 = 102 – 82 w k = 9 ____ 10 2 – 82= 9_____ 100 – 64= 9__ 36= 6 1.52 Es gilt 9 ____ 3 2 + 42= 9____ 9 + 16= 9__ 25= 5. Gilt auch 9 __ 3 2+ 9 __ 4 2= 5? Überprüft dies auch sowohl für 9 ____ 7 2 + 242 u nd 9 __ 7 2 + 9 __ 24 2 als auch für 9 ____ 41 2 – 92 u nd 9 __ 41 2 – 9 __ 9 2 ! Was schließt ihr daraus? Wird die n-te Wurzel aus dem Term auf der einen Seite der Gleichung gezogen, muss die n-te Wurzel auch aus dem gesamten Term auf der anderen Seite der Gleichung gezogen werden. Wird der Term auf der einen Seite der Gleichung mit n potenziert, muss auch der gesamte Term auf der anderen Seite der Gleichung mit n potenziert werden. Beachte: n 9_ a+ n 9_ b≠ n 9___ a + b (a, b > 0, n º 2) an + bn ≠ (a + b)n (a, b > 0, n º 2) n 9_ a– n 9_ b≠ n 9___ a – b (a, b > 0, a > b, n º 2) an – bn ≠ (a – b)n (a, b > 0, a > b, n º 2) AUFGABEN 1.53 Kreuze nur zutreffende Aussagen an! 9 ____ 8 2 + 132 = 9__ 233 45 + 105 ≠ (4 + 10)5 9 ____ 10 2 – 52 ≠ 9 __ 10 2– 9 __ 5 2 9 ____ x 2 – y2= x – y 3 9_ 8+ 3 9__ 27= 3 9____ 8 + 27 “ 9 ____ 12 + 18 § 2= 12 + 18 1.54 Gordan meint: „Den pythagoräischen Lehrsatz a2 + b2 = c2 kann man einfacher schreiben. Zieht man die Wurzeln, so wird daraus: 9 __ a 2 + 9 __ b 2= 9 __ c 2, also a + b = c.“ Hat Gordan Recht? Begründe die Antwort! 1.55 Berechne! Was fällt auf? a) 1) 9_ 2+ 9_ 2 2) 9___ 2 + 2 b) 1) 3 9_ 8+ 3 9_ 8 2) 3 9___ 8 + 8 1.56 Anna stellt fest: 9___ 0 + 1= 9_ 0+ 9_ 1. Daraus schließt sie, dass 9___ a + b= 9_ a+ 9 _ bfür alle a, b º 0. Was entgegnest du ihr? O B I A O I A 24 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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