Dieser Term ist als Streuungsmaß geeignet; man nennt ihn empirische Varianz. Ein Problem ergibt sich jedoch bei den Maßeinheiten, da dieses Maß ja die Quadrate der Maßeinheiten angibt, also zB mm2 statt mm. Zieht man aus der empirischen Varianz die Wurzel, dann erhält man die empirische Standardabweichung. Dieses Maß ist sehr gut geeignet, um die Streuung von Daten um das arithmetische Mittel anzugeben bzw. um die Streuung von zwei Datenlisten zu vergleichen. 8.77 Fortsetzung von Aufgabe 8.76: Berechne für beide Betriebe A und B die empirische Standardabweichung der Stiftlängen und interpretiere das Ergebnis! Lösung: A: 9 _____________________________________ (50,01 – 50,01) 2 + (49,95 – 50,01)2 + (50,05 – 50,01)2 + (50,02 – 50,01)2 + … + (50,04 – 50,01)2 __________________________________________________ 10 ≈ 0,034 B: 9 _____________________________________ (49,92 – 50,01) 2 + (50,11 – 50,01)2 + (50,09 – 50,01)2 + (49,93 – 50,01)2 + … + (50,03 – 50,01)2 __________________________________________________ 10 ≈ 0,072 Die empirische Standardabweichung ist für die Stiftlängen in Betrieb B größer als für jene in Betrieb A. Die Stiftlängen in Betrieb B weichen also stärker vom arithmetischen Mittel ab als in Betrieb A. Daraus kann man folgern: Die Maschine in Betrieb B arbeitet weniger präzise als jene in Betrieb A. Streuungsmaße Es sei x1, x2, …, xn eine Liste reeller Zahlen mit dem arithmetischen Mittel _ x. Dann ist s2 = (x 1– _ x)2 + (x 2– _ x)2 + … + (x n– _ x)2 ___________________ n die empirische Varianz der Liste und somit ist s = 9 _______________ (x 1– _ x)2 + (x 2– _ x)2 + … + (x n– _ x)2 ___________________ n die empirische Standardabweichung der Liste. Bemerkung: Die meisten Taschenrechner können die empirische Standardabweichung berechnen, indem man die Liste der Daten eingibt und dann im Statistikmenü (häufig DATA genannt) den Wert unter „σ x“ sucht. AUFGABEN 8.78 Kann man den kleinsten Wert (das Minimum) und den größten Wert (das Maximum) einer Liste als einfache Streuungsmaße betrachten? Begründe die Antwort! 8.79 Berechne das arithmetische Mittel _ xund die empirische Standardabweichung s der Liste! a) 2, 3, 6, 7, 9, 11 c) 13, 15, 16, 18, 22, 26, 29 b) 0,8; 3,5; 2,1; 4,3; 3,9; 1,5 d) 5,0; 6,8; 5,6; 6,0; 7,1; 4,8; 5,9; 6,3 8.80 Kakaopulver wird maschinell in Verpackungen zu je 250g abgefüllt. Um die Maschine zu überprüfen wird der Inhalt von zehn Packungen (in Gramm) gewogen und notiert: 248, 253, 251, 247, 253, 249, 254, 250, 249, 252 1) Berechne das arithmetische Mittel _ xund die empirische Standardabweichung s der Füllmengen der zehn Packungen! 2) Das arithmetische Mittel liegt höher als die Sollmenge von 250g. Für wen ist das ein Vorteil? Wer bezahlt für die im Mittel überhöhten Abfüllmengen? O I Ó D A O Ó O A 221 Zentralmaße und Streuungsmaße 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=