8.4 Streuungsmaße: empirische Varianz und empirische Standardabweichung 8.75 Zwei Betriebe stellen Metallstifte mit einer Länge von 50mm her. Bei einer Qualitätskontrolle werden in beiden Betrieben zehn Stifte, abgemessen und die Stiftlängen (in Millimeter) protokolliert: Betrieb A: 50,01 49,95 50,05 50,02 49,96 49,99 50,02 50,00 50,06 50,04 Betrieb B: 49,92 50,11 50,09 49,93 50,08 49,92 50,02 50,06 49,94 50,03 Kann mit Hilfe des arithmetischen Mittels ermittelt werden, in welchem der beiden Betriebe die Maschine für das Zuschneiden der Stifte präziser arbeitet? Begründe die Antwort! Lösung: Betrieb A: _ x A = 50,01 + 49,95 + 50,05 + 50,02 + 49,96 + 49,99 + 50,02 + 50,00 + 50,06 + 50,04 __________________________________________ 10 = 50,01 Betrieb B: _ x B = 49,92 + 50,11 + 50,09 + 49,93 + 50,08 + 49,92 + 50,02 + 50,06 + 49,94 + 50,03 __________________________________________ 10 = 50,01 Mit Hilfe des arithmetischen Mittels kann keine Aussage darüber getroffen werden, in welchem der beiden Betriebe die Maschine präziser arbeitet, da _ x A= _ x B. Das arithmetische Mittel ist in Aufgabe 8.75 keine geeignete Kennzahl zum Vergleich der Präzision zweier Maschinen. Stellt man die Ergebnisse jedoch auf der Zahlengeraden dar, kann man erkennen, dass eine Maschine weniger präzise arbeitet als die andere: 49,88 Betrieb B: xA = xB Betrieb A: 49,9 49,92 49,94 49,96 49,98 50 50,02 50,04 50,06 50,08 50,1 50,12 50,14 49,88 49,9 49,92 49,94 49,96 49,98 50 50,02 50,04 50,06 50,08 50,1 50,12 50,14 Die Stiftlängen der Maschine in Betrieb B weichen stärker vom arithmetischen Mittel ab als die Stiftlängen in Betrieb A. Man sagt: Die Streuung der Daten um den Mittelwert ist bei Betrieb B größer als bei Betrieb A. 8.76 Fortsetzung von Aufgabe 8.75: Berechne für beide Betriebe das arithmetische Mittel der Abweichungen der protokollierten Werte von _ x A= _ x B! Interpretiere das Ergebnis! Lösung: Für beide Betriebe wird ( _ x 1– _ x) + (x 2– _ x) + … + (x 10– _ x) __________________ 10 berechnet: Betrieb A: (50,01 – 50,01) + (49,95 – 50,01) + (50,05 – 50,01) + (50,02 – 50,01) + … + (50,04 – 50,01) ________________________________________________ 10 = = 0 + (– 0,06) + 0,04 + 0,01 + (– 0,05) + (– 0,02) + 0,01 + (– 0,01) + 0,05 + 0,03 __________________________________________ 10 = 0 __ 10= 0 Betrieb B: (49,92 – 50,01) + (50,11 – 50,01) + (50,09 – 50,01) + (49,93 – 50,01) + … + (50,03 – 50,01) ________________________________________________ 10 = = (– 0,09) + 0,10 + 0,08 + (– 0,08) + 0,07 + (– 0,09) + 0,01 + 0,05 + (– 0,07) + 0,02 ____________________________________________ 10 = 0 __ 10= 0 Positive und negative Abweichungen heben einander stets auf. Das arithmetische Mittel der Abweichungen der protokollierten Werte von _ x A= _ x Bist daher als Streuungsmaß nicht geeignet. Damit positive und negative Abweichungen einander nicht aufheben, ersetzt man in der beschreibenden Statistik die einzelnen Abweichungen jeweils durch ihre (nicht negativen) Quadrate und berechnet den Mittelwert der Abweichungsquadrate: ( _ x 1– _ x)2 + (x 2– _ x)2 + … + (x n– _ x)2 ___________________ n O A O I 220 I 4 Statistische Darstellungen und Kenngrößen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=