Das harmonische Mittel 8.56 Frau Fuchs fährt eine Strecke von 150 km mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h. Nach einer Pause fährt sie eine Strecke derselben Länge mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h. 1) Warum ist 80 km/h als Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke falsch? 2) Wie schnell ist sie tatsächlich durchschnittlich auf der gesamten Strecke gefahren? Lösung: 1) Sie fährt mit den beiden Geschwindigkeiten verschieden lang: Für die ersten 150 km sind das 150 km _____ 60 km/h = 2,5h, für die zweiten 150 km sind es 150 km ______ 100 km/h= 1,5h. Insgesamt hat sie für 300 km also vier Stunden gebraucht. 2) 300 km _____ 4h = 75 km/h Frau Fuchs ist durchschnittlich mit 75 km/h auf der gesamten Strecke gefahren. Mit Hilfe der vorigen Aufgabe kann man nun eine Formel für Fälle dieser Art aufstellen, in denen ein Zentralmaß der beiden Geschwindigkeiten ermittelt wird: Da Geschwindigkeit = zurückgelegter Weg ____________ benötigte Zeit , also v = s _ t, kann für s = 2·150 und für t = 150 ___ 60 + 150 ___ 100 eingesetzt werden, dh. v = 2·150 __ 150 ___ 60 + 150 _ 100 = 2·150 ________ 150· “ 1 __ 60 + 1 ___ 100 § = 2 _____ 1 __ 60 + 1 ___ 100 . Demnach ist die Länge der Gesamtstrecke beliebig, sofern nur die beiden Teilstrecken gleich lang sind. Sei nun a die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der ersten Teilstrecke und b die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der zweiten Teilstrecke, so ist v = 2 _ 1 _ a + 1 _ b = 2 ___ a + b ___ ab = 2ab ___ a + b. Kontrolle: v = 2·60·100 ______ 60 + 100 = 12000 ____ 160 = 75 Es handelt sich hier um ein Zentralmaß für Größen, die durch einen relativen Bezug zu einer Einheit definiert sind, wie zB km/h, kg/Ar usw. Man nennt es harmonisches Mittel. Das harmonische Mittel _ x h zweier Zahlen a und b wird mit _ x h = 2ab ___ a + b berechnet. AUFGABEN 8.57 Michael fährt mit dem Rad mit durchschnittlich 12 km/h von zuhause zur Schule und am Nachmittag mit durchschnittlich 8 km/h von der Schule nachhause. Wie schnell ist er beide Strecken im Schnitt gefahren? 8.58 Yousra läuft eine Strecke von 10 km mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 9 km/h. Am folgenden Tag läuft sie dieselbe Strecke mit 11 km/h. Wie schnell ist sie an beiden Tagen im Schnitt gelaufen? 8.59 Ein Landwirt hat zwei gleich große Anbauflächen für Spargel. Auf der einen Fläche erwirtschaftet er einen Ertrag von 33 kg/Ar, auf der anderen einen Ertrag von 38 kg/Ar. Wie viel Fläche wird im Schnitt benötigt, um 1 kg Spargel zu ernten? 8.60 Zeigt, dass für zwei Zahlen a und b Folgendes gilt: _ x _ x g= _ x g _ x h Hinweis: Zeigt, dass a + b ___ 2 9 __ ab= 9__ ab2ab ___ a + bund kontrolliert danach für a = 7 und b = 9! O A O O O O A C 215 Zentralmaße und Streuungsmaße 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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