Oberflächeninhalt der Kugel Die Oberfläche einer Kugel ist nicht eben, sondern gewölbt. Sie lässt sich nicht – wie etwa die Mantelflächen von Drehzylinder und Drehkegel – flach abrollen. Damit man dennoch den Oberflächeninhalt O einer Kugel berechnen kann, greifen wir zu einem Trick: Man kann sich die Kugeloberfläche in sehr viele sehr kleine Teilflächen aufgeteilt vorstellen. Würde man nun die vier Eckpunkte dieser Flächen mit dem Mittelpunkt M der Kugel verbinden, so entständen kleine pyramidenähnliche Körper mit der Höhe r und jeweils sehr kleinen Grundflächeninhalten G1, G2, G3, …, Gn. Die Summe der Volumina aller dieser kleinen „Pyramiden“ sollte das Volumen V der Kugel ergeben: V ≈ G 1·r ___ 3 + G 2·r ___ 3 + G 3· r ___ 3 + … + G n·r ___ 3 = r _ 3· (G1 + G2 + G3 + … + Gn) Nun entspricht die Summe aller Grundflächeninhalte G1 + G2 + G3 + … + Gn der pyramidenähnlichen Körper aber genau dem Oberflächeninhalt O der Kugel: V ≈ r _ 3· (G1 + G2 + G3 + … + Gn) = r _ 3· O Das Volumen einer Kugel ist mit V = 4 r 3 π ___ 3 gegeben. Daraus folgt: 4 r 3π ___ 3 ≈ r _ 3· O w O ≈ 4 r3 π ___ 3 r _ 3 = 4 r3 π ___ 3 · 3 _ r= 4 r 2 π Mit Hilfe der höheren Mathematik kann sogar die Gleichheit zwischen O und 4 r2 π gezeigt werden. Daher kann man festlegen: Für den Oberflächeninhalt O einer Kugel mit dem Radius r gilt: O = 4 r2 π AUFGABEN 7.113 Berechne den Oberflächeninhalt O der Kugel mit dem Radius r! a) r = 2m b) r = 85 cm c) r = 3,72dm d) r = 9,1mm e) r = 4,06 cm 7.114 Berechne den Radius r der Kugel mit dem Oberflächeninhalt O! a) O = 2,78m2 b) O = 804 cm2 c) O = 28,3m2 d) O = 52 π dm2 e) O = 1 444 π mm2 7.115 Ein aufgespannter Fallschirm hat die Form einer Halbkugelsphäre mit dem Radius 2m. Berechne den Inhalt O der Fallschirmoberfläche! 7.116 Der annähernd kugelförmige Planet Mars hat einen Äquatorumfang von ca. 21 350 km. Berechne den Inhalt O der Marsoberfläche! 7.117 Eine Medikamentenkapsel hat die Maße wie in nebenstehender Abbildung. Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O der Kapsel! 7.118 Ein gleichseitiger Drehzylinder (2 r = h) und eine Kugel haben denselben Radius r. Zeige, dass der Mantelflächeninhalt M des Drehzylinders gleich dem Oberflächeninhalt O der Kugel ist! 7.119 Der Radius r einer Kugel wird um 20% vergrößert. Gib an, um wie viel Prozent dadurch 1) das Volumen V, 2) der Oberflächeninhalt O der Kugel vergrößert werden! M O O O O 18mm 6mm D O O A O 197 Rotationskörper 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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