Der Flächeninhalt eines Kreissegments 6.80 In eine kreisrunde Tischplatte mit dem Durchmesser 1,4m ist ein Kreissegment aus Glas eingearbeitet, das durch einen Kreisbogen und eine Kreissehne der Länge 70 cm begrenzt ist. Berechne den Flächeninhalt A des Kreissegments aus Glas! Lösung: Betrachtet man die Tischplatte von oben, lässt sich erkennen, dass der Flächeninhalt A des Kreissegments die Differenz der Inhalte des Kreissektors mit dem Zentriwinkelmaß α und des Dreiecks ist, das von den beiden Radien und der Kreissehne s begrenzt wird. Da der Durchmesser der Tischplatte 1,4m = 140 cm, ist der Radius r = 70 cm. Da die Kreissehne s ebenfalls 70 cm lang ist, handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck mit r = s. Dadurch ist auch das Zentriwinkelmaß α = 60° ermittelt. Flächeninhalt AS des Kreissektors: AS = 60 ___ 360 · 70 2·π = 2450 ____ 3 π Flächeninhalt AD des gleichseitigen Dreiecks: AD = 702 __ 4 ·√3 = 1 225·√3 Flächeninhalt A des Kreissegments: A = AS – AD = 2450 ____ 3 π – 1 225·√3 ≈ 443,9 (cm2) 6.81 Berechne den Flächeninhalt A des Kreissegments, wenn r = 5,6 cm, s = 9 cm und α = 107°! Lösung: Flächeninhalt AS des Kreissektors: AS = 107 ___ 360· 5,6 2·π ≈ 29,28 Da in diesem Kreissektor kein gleichseitiges, sondern nur ein gleichschenkeliges Dreieck liegt, muss dessen Höhe hs mit dem pythagoräischen Lehrsatz ermittelt werden: hs = 9 ______ r2 – “ s _ 2 § 2 = 9 _______ 5,62 – “ 9 _ 2 § 2≈ 3,333 Flächeninhalt AD des gleichschenkeligen Dreiecks: AD = s·h s ___ 2 ≈ 9·3,333 _____ 2 ≈ 15 Flächeninhalt A des Kreissegments: A = AS – AD ≈ 29,28 – 15 ≈ 14,28 (cm2) Ist r der Radius eines Kreises und AD der Flächeninhalt eines gleichschenkeligen Dreiecks, das von den Schenkeln der Länge r und der Kreissehne der Länge s begrenzt ist, gilt für den Flächeninhalt A des Kreissegments mit dem zugehörigen Zentriwinkelmaß α: A = α ___ 360 · r 2· π – A D = α ___ 360 · r 2·π – s· 9 _____ r2 – s 2 __ 4 ______ 2 Bemerkungen: Ist α = 60°, gilt für den Flächeninhalt AD des gleichseitigen Dreiecks: AD = r2 __ 4 9 __ 3. Ist α = 90°, gilt für den Flächeninhalt AD des rechtwinkelig-gleichschenkeligen Dreiecks: AD = r2 __ 2. Ist α = 120°, gilt für den Flächeninhalt AD des gleichschenkeligen Dreiecks: AD = r2 __ 4 9 __ 3. Ist α = 150°, gilt für den Flächeninhalt AD des gleichschenkeligen Dreiecks: AD = r2 __ 4. O M r r α s O α M r r h s s 174 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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