Zahlen in der Darstellung z _ nmit z * Z und n * N* sind rationale Zahlen. Somit ist die Menge Q der rationalen Zahlen folgendermaßen definiert: Q = { z _ n | z * Z und n * N* } Dabei ist auch jede ganze Zahl z und damit auch jede natürliche Zahl n eine rationale Zahl, denn dafür kann jeweils n _ 1 = 2n __ 2 = 3n __ 3 = … bzw. z _ 1 = 2 z __ 2 = 3 z __ 3 = … geschrieben werden. Zahlen in unendlicher periodischer Dezimaldarstellung sind ebenso rationale Zahlen, da sich diese in Bruchdarstellung angeben lassen, zB: 0,4444444… = 0,• 4 = 4 _ 9. Gibt es nun überhaupt Zahlen, die nicht rational sind? Ist die Dezimaldarstellung von √2 endlich oder periodisch oder etwa unendlich, aber nicht periodisch? 1.03 Zeige, dass die Diagonalenlänge d eines Quadrats mit der Seitenlänge a = 1 keine rationale Zahl ist! Lösung: Wir führen einen so genannten indirekten Beweis. Dabei wird das Gegenteil der Behauptung angenommen und versucht einen Widerspruch zu erzielen. Dann muss nämlich die zuvor aufgestellte Behauptung gelten. Da nach dem pythagoräischen Lehrsatz 12 + 12 = d2 gilt, muss d2 = 2 und damit d = √2 sein. Die Annahme lautet nun: Es gibt eine rationale Zahl d mit d2 = 2. Dann muss sich d in der Form z _ nmit z * Z und n * N* darstellen lassen. Weiters wird vorausgesetzt, dass z _ nso weit wie möglich durchgekürzt ist und n > 1. Denn wäre n = 1, müsste d eine ganze Zahl sein. Das ist aber nicht möglich, da es keine ganze Zahl gibt, deren Quadrat gleich 2 ist. Da nun z _ nso weit wie möglich durchgekürzt ist, kann auch d 2 = z _ n· z _ nnicht weiter gekürzt werden. Somit ist auch d2 keine ganze Zahl. Und das ist ein Widerspruch zur Annahme d2 = 2. Daher kann √2 keine rationale Zahl sein. Die Zahl √2 hat keine endliche und keine periodische Dezimaldarstellung, sondern eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung: √2 = 1,414213562373095048801 688724209698078569671 875376948073176679737990… Zahlen, die eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung haben, nennt man irrationale Zahlen. Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen anschreiben. Irrationale Zahlen können nur näherungsweise, also mit beliebiger Genauigkeit angegeben werden, indem auf eine bestimmte Nachkommastelle gerundet wird. Alle rationalen Zahlen bilden gemeinsam mit allen irrationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen R. Bemerkung: Die Menge der irrationalen Zahlen bezeichnet man mit R\Q [lies: R ohne Q]. O A 1 1 d 17 Reelle Zahlen 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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