6.3 Die Länge von Kreisbögen 6.18 Ramona findet in einem Schuppen ein altes Wagenrad mit einem Durchmesser von 1,2m. 1) Wie lang ist die Strecke u, die das Rad bei einer Umdrehung zurücklegt? 2) Wie lang ist die Strecke b, die das Rad von einer grünen Markierung bis zur anderen zurücklegt? Lösung: 1) Die Strecke, die bei einer ganzen Umdrehung zurückgelegt wird (Umfang u des Rades), beträgt 1,2 π. 2) Nun werden nur 4 __ 10 dieser Strecke zurückgelegt, also 4 __ 10von 1,2 π. b = 4 __ 10 · 1,2 π = 0,48 π ≈ 1,5 (m) 6.19 Berechne die Kreisbogenlänge b eines Kreises mit dem Radius r = 5 cm, wenn das Maß des zugehörigen Zentriwinkels α = 207° beträgt? Lösung: Der Umfang des Kreises beträgt 2·5 π = 10 π. Die Länge b macht aber nur 207 ___ 360des Umfangs aus, also 207 ___ 360von 10 π. b = 207 ___ 360· 10 π = 5,75 π ≈ 18,1 (cm) Für die Länge eines Kreisbogens ist nur entscheidend, welchen Anteil am Kreisumfang sie ausmacht. Dies ist bei einem Halbkreis “ 1 _ 2· u §, einem Viertelkreis “ 1 _ 4· u §oder anderen „einfachen“ Teilen der Kreislinie sehr schnell zu berechnen. In allen anderen Fällen kann man auf das Maß des Zentriwinkels zurückgreifen “ α ___ 360 · u §. Ist u der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d bzw. dem Radius r, gilt für die Länge b des Kreisbogens mit dem zugehörigen Zentriwinkelmaß α: b = α ___ 360· u = α ___ 360 · d π = α ___ 360 · 2 r π Bemerkung: In manchen Formelheften findet man für b die Formel b = r πα ___ 180 . Diese ist eine gekürzte Variante der Formel, die kaum eine Rechenerleichterung darstellt. AUFGABEN 6.20 Wie lang ist die Strecke b, die das Wagenrad von einer bis zur anderen Markierung zurücklegt? Runde sinnvoll! a) Durchmesser d = 65 cm b) Radius r = 4,8dm c) Umfang u = 85 cm O O r α r b Ó O Ó Werkzeug – 4ke5bu 164 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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