Nun geht die Suche nach dieser konstanten Größe weiter: Um das Jahr 480 ermittelt der Chinese TSU CHUNG-CHIH den Wert 355 ___ 113 ≈ 3,141 5929, FIBONACCI kam im Jahr 1220 auf 864 ___ 275= 3,14 __ 18. Im Jahr 1579 fand François VIÈTE mit Hilfe eines 393216-Ecks Schranken für den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser 1, die bis auf neun Nachkommastellen genau waren: 3,141 5926535 < u < 3,141 5926537 Heute weiß man, dass diese Größe eine irrationale Zahl ist, die ihre Bezeichnung π [lies: pi] nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Worts für Umfang, nämlich περιμετρος (perímetros), und den Wert 3,141 5926535897932384626433832795… hat. Da in jedem Kreis ud = π1 gilt, stellt die Zahl π auch in jedem Kreis das Verhältnis von Umfang u zu Durchmesser d dar: u _ d= π Bemerkung: Die Zahl π bezeichnet man als transzendent irrational, da sie nicht die Wurzel einer rationalen Zahl ist. Diese nennt man nämlich algebraisch irrational. Mittlerweile wurde die Zahl π auf mehr als zwei Billionen Nachkommastellen genau ermittelt. Jedoch sind selbst für astronomische Berechnungen häufig nur die ersten 20 Nachkommaziffern ausreichend. AUFGABEN 6.04 Der Schweizer Künstler Eugen JOST (*1950) hat das folgende kleine Gedicht verfasst: Wie? O! Dies π Macht ernstlich so vielen viele Müh’! Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein Versucht herauszufinden, warum man nach dem Auswendiglernen dieses Gedichts automatisch die ersten 23 Nachkommaziffern von π beherrscht! 6.05 Konstruiere einen Kreis mit dem Durchmesser d = 1 dm! Schreibe diesem ein regelmäßiges Achteck ein und ein regelmäßiges Achteck um, ermittle durch Abmessen jeweils den Umfang der beiden Achtecke und gib damit Schranken für den Umfang u des Kreises an! < u < 6.06 Setze den Term in Klammern nach dem vorgegebenen Schema beliebig lang weiter fort und ermittle dann ein Gesamtergebnis! Was fällt auf? a) 4· “ 1 – 1 _ 3 + 1 _ 5– 1 _ 7 + 1 _ 9 – 1 __ 11 + 1 __ 13– … § b) 2· “ 2 _ 1· 2 _ 3· 4 _ 3· 4 _ 5· 6 _ 5· 6 _ 7· 8 _ 7· 8 _ 9·… § 6.07 Zeige, dass 6· “ 1 + 1 __ 22 + 1 __ 32 + 1 __ 42 + 1 __ 52 + 1 __ 62 + 1 __ 72 + 1 __ 82 + … §= π2, indem du den Term des zweiten Faktors nach dem vorgegebenen Schema beliebig lang fortsetzt! Hinweis: Je mehr Summanden verwendet werden, desto genauer ist die Näherung. Ó I A B M r =0,5 d= 1 D O O I O A 162 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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