Anhand der Experimente in den Aufgaben 6.01 und 6.02 kann man erkennen, dass der Umfang eines Kreises etwas länger als das Dreifache des Durchmessers ist. Bereits in der Antike hat man den Kreisumfang mit dem 3-Fachen des Durchmessers angegeben. Im Alten Testament der Bibel wird der Umfang als das 3-Fache und in einer neueren Auslegung des hebräischen Originaltextes als das 3,1415-Fache des Durchmessers gedeutet. Die Babylonier gaben für den Umfang das 3 1 _ 8-Fache des Durchmessers an. ARCHIMEDES (ca. 287 v. Chr. – 212 v. Chr.) meint, dass das Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser größer als 3 10 __ 71≈ 3,140845, aber kleiner als 3 1 _ 7 = 22 __ 7 ≈ 3,142857 sein müsse. Er ist dabei von der Idee ausgegangen, dem Kreis Vielecke einzuschreiben sowie umzuschreiben und so mit den Umfängen der Vielecke Schranken für den Kreisumfang zu finden. Er hat dafür das 96-Eck ausgewählt. Die Idee kann man aber schon mit Sechsecken nachvollziehen. 6.03 Schreibe einem Kreis mit dem Durchmesser d = 1 ein regelmäßiges Sechseck ein und ein regelmäßiges Sechseck um, berechne jeweils den Umfang der beiden Sechsecke und ermittle damit Schranken für den Umfang u des Kreises! Lösung: Beträgt der Durchmesser des Kreises d = 1, so ist der Radius r = 0,5. Umfang u edes eingeschriebenen Sechsecks: Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die alle die Seitenlänge 0,5 haben. Für den Umfang ue gilt daher: ue = 6·0,5 = 3 Umfang u udes umgeschriebenen Sechsecks: Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die alle die Höhe 0,5 haben. Für die Seitenlänge a des umgeschriebenen Sechsecks gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: “ a _ 2 § 2+ 0,52 = a2 w a2 – “ a _ 2 § 2= 0,25 w 3a 2 ___ 4 = 0,25 w 3a 2 = 1 w a2 = 1 _ 3 w a = 1 _ 9_ 3 Für den Umfang uu gilt daher: uu = 6· 1 __ 9 __ 3 = 6·1· 9 __ 3 ____ 9 __ 3· 9 __ 3 = 6· 9 __ 3 __ 3 = 2 √3 ≈ 3,46 Da ue < u < uu, gilt 3 < u < 3,46. Mit Hilfe eines eingeschriebenen und eines umgeschriebenen Sechsecks kann man den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 1 zwischen 3 und ca. 3,46 einschranken. Je größer das n bei ein- und umgeschriebenen n-Ecken ist, desto besser lässt sich der Kreisumfang einschranken. Dieser Wert von ungefähr 3,14 für den Kreisumfang gilt für einen Kreis mit dem Durchmesser d = 1. Da jedoch alle Kreise zueinander ähnlich sind, ist der Umfang eines Kreises mit d = 2 auch doppelt so groß, mit d = 3 dreimal so groß oder mit d = 0,5 nur halb so groß wie für einen Kreis mit d = 1. Das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser ist stets konstant. O A d= 1 M 0,5 0,5 Ó Ó Werkzeug – b6r33d 161 Die Kreiszahl π 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=