Winkelmaße 180° ergeben muss. Durch die Verbindung der beiden Punkte C und D entsteht ein Trapez ABCD mit den beiden parallelen Seiten a und b sowie der Höhe (a + b). Dem Flächeninhalt des Trapezes entspricht die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke AED, BCE und DEC: (a + b)·(a + b) _________ 2 = a·b ___ 2 + c·c ___ 2 + a·b ___ 2 w (a + b)·(a + b) = ab + c 2 + ab w a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 w a2 + b2 = c2 Dynamischer Beweis Ohne Worte: AUFGABEN 5.161 Erklärt die nebenstehende Beweisführung aus dem Indien des 12. Jahrhunderts für den pythagoräischen Lehrsatz! ZUSAMMENFASSUNG In einem rechtwinkeligen Dreieck ABC mit den Kathetenlängen a und b, der Hypotenusenlänge c, der Höhe h und den Hypotenusenabschnittslängen p und q gilt stets: a2 + b2 = c2 pythagoräischer Lehrsatz a2 = c·p bzw. b2 = c·q Kathetensatz h2 = p·q Höhensatz WIEDERHOLUNG: WISSEN 5.162 Formuliere in eigenen Worten den 1) pythagoräischen Lehrsatz, 2) Kathetensatz, 3) Höhensatz! 5.163 Unter welchen Voraussetzungen kann der pythagoräische Lehrsatz angewendet werden? 5.164 Wie lässt sich die Diagonalenlänge d in einem 1) Rechteck mit den Seitenlängen a und b, 2) Quadrat mit der Seitenlänge a ermitteln? 5.165 Wie lassen sich die Längen d1, d2, d3 der Flächendiagonalen sowie die Länge d der Raumdiagonalen eines 1) Quaders, 2) Würfels ermitteln? 5.166 Skizziere eine regelmäßige vierseitige Pyramide und formuliere für alle darin vorkommenden rechtwinkeligen Teildreiecke den pythagoräischen Lehrsatz! I A B a b c q p h A B C 156 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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