5.3 Der Höhensatz 5.44 In einem rechtwinkeligen Dreieck ABC teilt die Höhe h auf die Hypotenuse c diese in zwei Abschnitte der Längen p und q. Die Dreiecke ADC und CDB sind einander ähnlich. Stelle eine Verhältnisgleichung unter Einbeziehung der Höhe h auf! Lösung: Mit den beiden Kathetenlängen der Dreiecke ADC und CDB lässt sich die folgende Verhältnisgleichung aufstellen: hq = ph Diese Verhältnisgleichung lässt sich als Bruchgleichung anschreiben und sinnvoll umformen: h _ q = p _ h É h 2 = p·q Höhensatz In einem rechtwinkeligen Dreieck mit der Höhe h über der Hypotenuse und den beiden Hypotenusenabschnittslängen p und q hat das Quadrat über der Höhe stets den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus beiden Hypotenusenabschnitten: h2 = p·q AUFGABEN 5.45 1) Formuliere für das dargestellte rechtwinkelige Dreieck den Höhensatz! 2) Forme den Höhensatz so um, dass jede Variable durch die anderen ausgedrückt wird! a) b) c) 5.46 Berechne in dem rechtwinkeligen Dreieck mittels Höhensatz die Streckenlänge x! a) b) c) 5.47 Von einem rechtwinkeligen Dreieck ABC (γ = 90°) kennt man mit p und q die Längen der beiden Hypotenusenabschnitte. Berechne 1) die Höhe h, 2) die Seitenlängen a, b, c, 3) den Flächeninhalt A des Dreiecks! a) p = 80mm, q = 45mm b) p = 4 cm, q = 4,41 cm c) p = 20,8m, q = 11,7m I A a b c q p h D A B C h2 q p p p . q h D A B C Ó D O I Ó b a q p h r w g t e x p c m z D O I 4 cm 13 cm x 6 cm 8 cm x 0,8 cm 12mm x O Ó Demo – 7ks4xu, Ó Übung – 4ej35r 135 Die pythagoräische Satzgruppe 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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