5.39 In jedem rechtwinkeligen Dreieck mit den beiden Kathetenlängen a und b, der Hypotenusenlänge c, den beiden Hypotenusenabschnittslängen p und q und der Höhe h auf c gilt: p + q = c, h2 + p2 = a2 und h2 + q2 = b2. Beweise mit Hilfe der Beziehungen 1) a2 = c2 – b2, 2) b2 = c2 – a2 den Kathetensatz! 5.40 Ein Bauer tauscht ein rechteckiges Feld mit einer Länge von 120m und einer Breite von 50m gegen ein flächeninhaltsgleiches quadratisches Feld. Die Länge seines neuen Feldes ermittelt er durch eine Zeichnung. Erkläre seine Konstruktion! Lösung: Der Bauer wählt c als Länge und p als Breite seines rechteckigen Feldes ABCD. Über der Strecke DC konstruiert er mit Hilfe eines Thaleskreises das rechtwinkelige Dreieck DCE. Den Eckpunkt E erhält er dabei als Schnittpunkt der Kreislinie mit einer Normalen durch den Punkt F. Die Seitenlänge a des neuen quadratischen Feldes lässt sich durch Anwendung des Kathetensatz a2 = c·p und Messen der Seitenlänge a ermitteln. 5.41 Ein Rechteck mit der Länge a, der Breite b bzw. dem Flächeninhalt A ist zeichnerisch in ein flächeninhaltsgleiches Quadrat zu verwandeln! Verwende den Kathetensatz und kontrolliere das Ergebnis durch eine Rechnung! a) a = 8 cm, b = 5 cm b) a = 14 cm, b = 9 cm c) A = 24 cm2 d) A = 36 cm2 Hinweis zu c) und d): Wähle für das Rechteck eine in Frage kommende Länge und Breite! 5.42 Ein Dach soll neue Abschlussleisten x und y erhalten. Dafür werden auf dem Boden vor dem Haus die in der Abbildung angegebenen Längen gemessen. 1) Sind die in der Zeichnung angegebenen Größen für die Berechnung ausreichend? Was für ein praktischer Vorteil ergibt sich dadurch? Begründe! 2) Wie viel Meter benötigt man für die beiden Leisten mindestens? Berücksichtige auch den Überstand von je 30 cm! 5.43 Vervollständige die Beschriftung und zeige anhand der Darstellung die Gültigkeit des Kathetensatzes a2 = c·p bzw. b2 = c·q! O A D I a2 c p p a A B C D M F E Ó O I D O A 8m 30 cm 30 cm x y 4,5m D A A B C Ó Demo – ww2f6q 134 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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