5.2 Der Kathetensatz 5.31 In einem rechtwinkeligen Dreieck ABC teilt die Höhe h auf die Hypotenuse c diese in zwei Abschnitte der Längen p und q. 1) Zeige mit Hilfe von Winkeln, dass die Dreiecke CDB, ADC und ABC einander ähnlich sind! 2) Nutze die Ähnlichkeit der Dreiecke CDB und ABC sowie der Dreiecke ADC und ABC für die Angabe sinnvoller Verhältnisgleichungen von Seitenlängen! Lösung: 1) Die Dreiecke CDB und ABC haben den Winkel ¼CBD gemeinsam und jeweils einen rechten Winkel, daher muss gelten: ¼DCB = ¼BAC. D ie Dreiecke ADC und ABC haben den Winkel ¼DAC gemeinsam und jeweils einen rechten Winkel, daher muss gelten: ¼ACD = ¼CBA. Dreiecke sind einander ähnlich, wenn sie in den Winkelmaßen übereinstimmen. 2) Es gilt einerseits ap = ca und andererseits bq = cb. Diese Verhältnisgleichungen lassen sich als Bruchgleichungen anschreiben und sinnvoll umformen: a _ p = c _ a É a 2 = c·p bzw. b _ q = c _ b É b 2 = c·q Kathetensatz In einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b, der Hypotenusenlänge c und den beiden Hypotenusenabschnittslängen p und q (mit p + q = c) hat das Quadrat über einer Kathete stets den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus Hypotenuse und zugehörigem Hypotenusenabschnitt: a2 = c·p bzw. b2 = c·q AUFGABEN 5.32 Formuliere für das dargestellte rechtwinkelige Dreieck den Kathetensatz in beiden Formen! a) b) c) 5.33 Forme die in Aufgabe 5.32 gefundenen Gleichungen so um, dass jede Variable durch die anderen ausgedrückt wird! I A a b c q p h D A B C a a2 b2 a b c c . p q p h D A B C a b b c c . q p q h D A B C Ó D I Ó b a c q p s r t q p k g d x m O Ó Demo – 7my3zt, Ó Übung – ph6m9u 132 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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