4.6 Einige nichtlineare Funktionen Indirekte Proportionalitätsfunktionen 4.76 Eine Fahrtstrecke von 10 km kann zu Fuß oder mit Verkehrsmitteln zurückgelegt werden. Dabei gilt: Je höher die Geschwindigkeit v in km/h, desto kürzer ist die Gehzeit bzw. die Fahrtzeit t (v) in Stunden. 1) Stelle diese Zuordnung in einer Tabelle und durch den Graphen der Funktion t in einem Koordinatensystem dar! Beschreibe einige Ergebnisse in Worten! 2) Gib eine Termdarstellung der Funktion t an! Lösung: 1) Tabelle: Koordinatensystem: v t (v) 5 2 10 1 50 0,2 100 0,1 Geht man mit 5 km/h, braucht man für die 10 km lange Strecke 2 Stunden. Fährt man mit 10 km/h, braucht man für die 10 km lange Strecke 1 Stunde. Fährt man mit 50 km/h, braucht man für die 10 km lange Strecke 0,2 Stunden, das sind 12 Minuten. … 2) Da also stets v·t (v) = 10 gilt, lautet eine Termdarstellung für die Funktion t: t (v) = 10 __ v . Ginge jemand in der vorigen Aufgabe nur mit einer Geschwindigkeit von 1 km/h, würde diese Person 10 Stunden für die 10 km lange Strecke benötigen, dh. t (1) = 10. Die benötigte Zeit t (v) ist zur Geschwindigkeit v indirekt proportional. Ist f eine reelle Funktion mit f (x) = k _ x (mit k ≠ 0, x ≠ 0), so nennt man die Funktion f eine indirekte Proportionalitätsfunktion. Für die Konstante k gilt: k = f (1) bzw. k = x·f (x) AUFGABEN 4.77 Durch starke Regenfälle wurde der Keller der Familie Melic überflutet. Zwei gleich leistungsstarke Pumpen können das Wasser in vier Stunden abpumpen. 1) Stelle die Zuordnung Anzahl x der Pumpen zur benötigten Zeit t (x) in Stunden für das Auspumpen in einer Tabelle und durch einen Graphen der Funktion t im Koordinatensystem dar! Wähle für x die Argumente 1, 2, 4, 8! 2) Gib eine Termdarstellung der Funktion t an! 3) Lies aus dem Graphen der Funktion t ab, wie lang das Auspumpen mit fünf Pumpen dauert! O I 0,5 1 1,5 2 2,5 20 O t(v) v 40 60 80 100 t D Ó 117 Funktionen 4 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
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