Potenzen und Wurzeln EXTRABLATT 3.5 Das Gnomon und seine Folgen Aufgaben 3.116 Das Schachspiel wurde in Persien von einem Gelehrten erfunden, dem der Herrscher einen Wunsch erfüllen wollte: Es sollte auf das erste Feld des Schachbretts ein Reiskorn gelegt werden, auf das zweite sollten zwei Reiskörner, auf das dritte vier Reiskörner usw. – also jeweils immer doppelt so viele, wie auf den vorigen liegen. Wie viele Reiskörner liegen auf dem letzten, dem 64. Feld? Schätzt, bevor ihr es ausrechnet! Hinweis: 1. Feld: 1 Reiskorn 3. Feld: 4 = 22 Reiskörner 5. Feld: 16 = 24 Reiskörner 2. Feld: 2 Reiskörner 4. Feld: 8 = 23 Reiskörner 6. Feld: 32 = 25 Reiskörner … 3.117 Faltet ein A4-Papier ein paar Mal jeweils in der Mitte der längeren Seite! Das Papier wird nach jedem Falten dicker, nämlich stets doppelt so dick wie zuvor. 1) Wie oft müsste man ein Blatt Papier mit der Dicke ca. 0,1mm falten, dass dessen Dicke von der Erde bis zum Mond (Entfernung ca. 350000 km) reicht? Hinweis: 0,1mm = 0,0000001 km; 0,0000001·2x > 350000 2) Wie oft müsste man es falten, dass dessen Dicke von der Erde bis zur Sonne (ca. 150 Mio. km) reicht? Die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... kann man als Quadrate darstellen, deren jeweiliger Flächeninhalt die Quadratzahl der Seitenlänge ist. Werden diese Quadrate nebeneinander gezeichnet, entsteht ein stufenförmiges Bild. Der Unterschied von einer Quadratfläche zur nächsten ist eine L-förmige Fläche, ein sogenanntes Gnomon. Dieses steht für den Zuwachs von einer zur nächsten Quadratzahl. 12 12 + 3 = 22 22 + 5 = 32 32 + 7 = 42 42 + 9 = 52 52 + 11 = 62 … Quadratzahlen: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Gnomon-Zahlen (Zuwachs): 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Zuwachs des Zuwachses: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12 22 32 42 52 62 … 2 3 4 5 6 Gnomon 2 . 5 + 1 = 11 3 83 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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