Rationale Zahlen EXTRABLATT 2.7 Rationale Zahlen konstruieren Aufgaben 2.110 Die 3B bekommt als Hausübung eine ganz lange Rechnung: “ ‒ 13 _ 37+ 8,01 §· 45 _ 721·12,724· 1 _ 89·(14,6 – 52,671)· “ ‒ 45 _ 1066 §·7,16 _ 882· “ ‒12 5 _ 6 §· “ 3 _ 8 _ 9 §·(3 – 3)· 12 _ 27· “ ‒ 4 _ 9 § Bodo und Anita haben das Ergebnis schon nach wenigen Sekunden. Wie haben sie das gemacht? 2.111 Welche Zahl wird durch den Mehrfachbruch dargestellt? a) 1 __ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 b) 2 __ 2 – 2 __ 2 – 2 __ 2 – 2 __ 2 – 2 _ 2 + 2 Streng genommen kann man Zahlen nicht konstruieren, Zahlen lassen sich lediglich auf verschiedene Arten darstellen, so etwa als Punkte auf der Zahlengeraden. Jeder rationalen Zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden. Rationale Zahlen lassen sich darauf mit beliebiger Genauigkeit darstellen. Aber stets ganz genau jenen Punkt zu finden, der zB der Zahl ‒ 6 _ 17entspricht, scheint kaum möglich zu sein. Der Punkt, welcher der rationalen Zahl 4 _ 3entspricht, soll auf der Zahlengeraden gefunden werden. Dazu ist es notwendig, dass senkrecht zur Zahlengeraden eine weitere Achse durch 0 eingezeichnet wird – ähnlich wie in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem. Dabei wird die Zahlengerade als Zählerachse und die zweite Achse als Nennerachse bezeichnet. Nun werden Zähler und Nenner der Zahl 4 _ 3auf den entsprechenden Achsen markiert; die Markierungen werden dann durch eine Strecke verbunden. Nun stellen alle Strecken, die parallel zu dieser sind, die Zahl 4 _ 3dar. Wir können das erkennen, wenn auf der Zählerachse 8 und auf der Nennerachse 6 markiert wird oder für 12 auf der Zählerachse und 9 auf der Nennerachse, da 4 _ 3 = 8 _ 6 = 12 _ 9 . Und da jede Zahl in Bruchdarstellung als Ergebnis einer Division gedeutet werden kann, gilt im umgekehrten Fall 4 _ 31 = 4 _ 3 _ 1. Verschiebt man die Strecke parallel derart, dass auf der Nennerachse 1 markiert ist, wird auf der Zählerachse, also auf der Zahlengeraden, genau jener Punkt markiert, welcher der Zahl 4 _ 3entspricht. Versucht diese „Konstruktion“ auch für andere rationale Zahlen durchzuführen! 0 1 1 2 3 4 ‒1 2 Zählerachse Nennerachse 3 4 5 0 1 1 2 3 4 5 ‒1 2 Zählerachse Nennerachse 3 4 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 4 3 C C 2 65 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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