Alle rationalen Zahlen anordnen Ganze Zahlen können auf folgende Art abgezählt werden: 1. Zahl: 0, 2. Zahl: 1, 3. Zahl: ‒1, 4. Zahl: 2, 5. Zahl: ‒2 usw. Man kann beliebig lang weiterzählen, also gibt es unendlich viele ganze Zahlen. Gibt es auch eine Möglichkeit, rationale Zahlen abzuzählen? Fragt man etwa nach dem Nachfolger der Zahl 3 _ 8, kann dieser nicht genannt werden, denn zu zwei verschiedenen rationalen Zahlen kann stets eine weitere gefunden werden, die zwischen diesen beiden Zahlen liegt. Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen. Es gibt jedoch ein Schema, das von dem deutschen Mathematiker Georg CANTOR (1845 – 1918) entwickelt worden ist, welches nacheinander jede rationale Zahl erfasst: … ‒ 1 _ 4 ‒ 1 _ 3 ‒ 1 _ 2 ‒ 1 _ 1 0 1 _ 1 1 _ 2 1 _ 3 1 _ 4 … … ‒ 2 _ 4 ‒ 2 _ 3 ‒ 2 _ 2 ‒ 2 _ 1 2 _ 1 2 _ 2 2 _ 3 2 _ 4 … … ‒ 3 _ 4 ‒ 3 _ 3 ‒ 3 _ 2 ‒ 3 _ 1 3 _ 1 3 _ 2 3 _ 3 3 _ 4 … … ‒ 4 _ 3 ‒ 4 _ 2 ‒ 4 _ 1 4 _ 1 4 _ 2 4 _ 3 … … ‒ 5 _ 1 5 _ 1 … Die erste Zeile nennt neben der Zahl 0 alle rationalen Zahlen mit dem Zähler 1, die zweite Zeile alle mit dem Zähler 2 usw. Die Nenner durchlaufen in jeder Zeile die Menge der ganzen Zahlen (außer 0). Kürzt man nun jeden Bruch und streicht danach alle Wiederholungen, könnten alle rationalen Zahlen gezählt werden. Obwohl zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen, könnte auf diese Art jede Zahl der Menge Q erfasst werden. Aufgaben 2.37 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Zwischen ‒3 und 3 gibt es genau zwei ganze Zahlen. Zwischen 0 und 1 gibt es unendlich viele rationale Zahlen. Die Zahl ‒4 hat den Vorgänger ‒5. Die Zahl ‒3 hat den Nachfolger ‒2,9. 2.38 Schreibt eine Zahl auf, die größer als ‒2, aber kleiner als 0 ist, und nennt sie a1! Notiert nun eine Zahl, die größer als ‒2, aber kleiner als a1 ist! Nennt diese Zahl a2! Wählt nun eine beliebige Zahl zwischen ‒2 und a2 und nennt sie a3 usw.! Diskutiert darüber, wie lang ihr braucht um dies zu beenden und wie viele Zahlen sich so finden lassen! Was ändert sich, wenn ihr zu Beginn beliebige andere ganze Zahlen wählt? 2.39 In welchen Fällen ist eine rationale Zahl größer als ihre Gegenzahl? Wann ist sie kleiner als ihre Gegenzahl? Erkläre mit Worten und unter Verwendung der Sprache der Mathematik! Demonstriere die Antwort anhand von selbstgewählten Beispielen! 2.40 Gibt es mehr natürliche, mehr ganze oder mehr rationale Zahlen? Diskutiert darüber! I O A C D I A B 2 51 Rationale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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