Rationale Zahlen in periodischer Dezimaldarstellung Rationale Zahlen in periodischer Dezimaldarstellung können auch in die Bruchdarstellung umgeformt werden. 2.11 Zeige, dass 0,• 5eine rationale Zahl ist! Lösung: Es sei x = 0,• 5= 0,5555…, dann ist das Zehnfache 10·x = 5, • 5= 5,5555… In beiden Fällen sind die Nachkommaziffern die gleichen. Wir ziehen x von 10·x ab: 10·x = 5,5555… – x = 0,5555… 9·x = 5 Also ist x = 59 = 5 _ 9 Eine Bruchdarstellung von 0, • 5ist 5 _ 9. Daher ist 0, • 5eine rationale Zahl. 2.12 Zeige, dass 0, _ 31eine rationale Zahl ist! Lösung: Es sei x = 0, _ 31= 0,313131…, dann ist das Hundertfache 100·x = 31, _ 31= 31,313131… In beiden Fällen sind die Nachkommaziffern die gleichen. Wir ziehen x von 100·x ab: 100·x = 31,313131… – x = 0,313131… 99·x = 31 Also ist x = 3199 = 31 _ 99 Eine Bruchdarstellung von 0, _ 31ist 31 _ 99. Daher ist 0, _ 31eine rationale Zahl. 2.13 Zeige, dass 0,6 • 2eine rationale Zahl ist! Lösung: Es sei x = 0,6• 2= 0,62222…, dann ist das Zehnfache 10·x = 6,• 2= 6,2222… und das Hundertfache 100·x = 62,• 2= 62,2222… Wir ziehen 10·x von 100·x ab: 100·x = 62,2222… – 10·x = 6,2222… 90·x = 56 Also ist x = 5690 = 56 _ 90 Eine Bruchdarstellung von 0,6• 2ist 56 _ 90. Daher ist 0,6 • 2eine rationale Zahl. 2.14 Zeige, dass 0,28 • 7eine rationale Zahl ist! Lösung: Es sei x = 0,28 • 7= 0,287777…, dann ist das Hundertfache 100·x = 28, • 7= 28,7777… und das Tausendfache 1 000·x = 287, • 7= 287,7777… Wir ziehen 100·x von 1 000·x ab: 1 000·x = 287,7777… – 100·x = 28,7777… 900·x = 259 Also ist x = 259900 = 259 _ 900 Eine Bruchdarstellung von 0,28 • 7ist 259 _ 900. Daher ist 0,28 • 7eine rationale Zahl. Die Vorperiode in der Zahl 0,6• 2[sprich: null Komma sechs Periode zwei] ist 6, in der Zahl 0,28 • 7[sprich: null Komma zwei acht Periode sieben] ist sie 28. Die Bruchdarstellung einer Zahl mit periodischen Nachkommaziffern lässt sich so ermitteln: Man betrachtet die Zahl, die aus Vorperiode und Periode gebildet werden kann. Im Zähler steht die Differenz aus der Zahl und deren Vorperiode. Im Nenner schreibt man für jede Periodenziffer je einen Neuner, für jede Vorperiodenziffer dahinter je einen Nuller. D O A D O A D O A D O A 2 47 Rationale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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