6.58 6.59 Ja, es gilt A = A’, da A * g. Dies ist daran erkennbar, dass die 1. Koordinaten aller drei Punkte gleich sind. 6.60 Nein, das Dreieck wurde nicht an der 1. Achse gespiegelt. Dies ist daran erkennbar, dass die Normalabstände von A zur 1. Achse und von A’ zur 1. Achse nicht gleich sind, ebenso für B, B’, C und C’ bezüglich der 1. Achse. Außerdem sind die Koordinaten von A = (‒2,5 1 ‒3) und von A’ = (‒2,5 1 4). Wäre die 1. Achse die Spiegelgerade, müssten die 2. Koordinaten von A und A’ Gegenzahlen voneinander sein. Dies ist hier nicht der Fall, ebenso für B, B’, C und C’ bezüglich der 2. Koordinaten. 7 Figuren vergrößern und verkleinern Wiederholung: Wissen 7.90 Kongruente Figuren stimmen in allen Seitenlängen und Winkelmaßen überein, sie haben die gleiche Gestalt und die gleiche Größe. Bei ähnlichen Figuren sind einander entsprechende Seitenlängen zueinander proportional, einander entsprechende Winkelmaße sind gleich. Ähnliche Figuren haben gleiche Gestalt aber unterschiedliche Größe. Kongruenz ist ein Sonderfall der Ähnlichkeit. 7.91 Als Division oder als Bruch; zB 32 = 3 _ 2 oder 17 = 1 _ 7 7.92 Soll man eine zu Strecke AB ähnliche Strecke A’B’ zeichnen, so gibt der Faktor k an, mit welcher Zahl man die Länge der Strecke AB multiplizieren muss, um die Länge der Strecke A’B’ zu erhalten. Durch eine zentrische Streckung entstehen ähnliche Figuren, bei denen Original- und Bildpunkte auf einer Geraden durch ein Streckungszentrum Z liegen. Kompetenzcheck 7.94 ¶1 ~ ¶4; ¶2 ~ ¶7; ¶8 ~ ¶9; ¶6 ~ ¶10; ¶3 t ¶5 7.95 7.96 1,250,5 3 _ 4 2 _ 5 5 5 _ 2 1,8 5 _ 4 2,51 10872 158 144100 52 1 _ 2 1 _ 5 21 32 7.97 ab = 45 und ba = 108 7.98 Die beiden Buchstaben sind einander ähnlich, weil einander entsprechende Winkel das gleiche Winkelmaß haben und einander entsprechende Seitenlängen im selben Verhältnis zueinanderstehen. 1) a) k = 1,5 b) k = 2 _ 3 2) Der Faktor k gibt an, mit welcher Zahl man die Länge einer Strecke multiplizieren muss, um eine dazu ähnliche Strecke zu konstruieren. Ist a) k > 1, so wird die Strecke vergrößert, b) k = 1, so bleibt die Länge der Strecke gleich, c) 0 < k < 1, so wird die Strecke verkleinert. 7.99 125% 7.100 zB c5 = 156 w c·6 = 5·15 w c = 12,5 cm 7.101 zB Dreieck 1: 3 cm, 4 cm, 5 cm; Dreieck 2: 6 cm, 8 cm, 10 cm; Dreieck 3: a = 1,5 cm, b = 2 cm, c = 2,5 cm (1) Die Dreiecke haben die gleiche Gestalt, sind aber unterschiedlich groß. (2) Einander entsprechende Winkelmaße sind in allen drei Dreiecken gleich und einander entsprechende Seitenlängen sind zueinander proportional. 7.102 a) ab = cd = ef b) ax = (a + b)z c) (a + b)a = (c + d)c = (e + f)e d) e(w + x) = (e + f)(y + z) e) wc = y(c + d) f) yz = wx 7.103 zB x3 = 22,5 w x = 2,4 cm zB y1,5 = (2 + 2,5)2,5 w y = 2,7cm 7.104 1) Dreieck ADF ~ Dreieck ABC ~ Dreieck FEC 2) _ BC _ AB= _ CE _ EF _ CF _ AC= _ CE _ BC _ AD _ EF= _ DF _ CE 3) _ CE= 12m 8 Der pythagoräische Lehrsatz Wiederholung: Wissen 8.67 Es muss sich um ein rechtwinkeliges Dreieck handeln. 8.68 Es müssen entweder beide Kathetenlängen oder eine Kathetenlänge und die Hypotenusenlänge gegeben sein, damit die dritte Seitenlänge berechnet werden kann. 8.69 Subtrahiert man vom Quadrat der Hypotenusenlänge das Quadrat der gegebenen Kathetenlänge, erhält man das Quadrat der gesuchten Kathetenlänge. Daher zieht man die Quadratwurzel aus dem Quadrat der gesuchten Kathetenlänge und erhält so die gesuchte Kathetenlänge. Kompetenzchecks 8.72 1) In einem rechtwinkeligen Dreieck liegt der rechte Winkel gegenüber einer Kathete/ zwischen zwei Katheten/ gegenüber der Hypotenuse. 2) Die längste Seite eines rechtwinkeligen Dreiecks nennt man Schenkel/ Hypotenuse/Seite. 3) Ein rechtwinkeliges Dreieck kann ungleichseitig/gleichschenkelig/gleichseitig sein. 4) Die Summe der Innenwinkelmaße eines rechtwinkeligen Dreiecks ist kleiner/ gleich/größer 180°. 8.73 8.74 h2 + p2 = a2, h2 + q2 = b2, a2 + b2 = (p + q)2 8.75 c = 9 ____ a 2+ b2, q = 9 ____ r 2– p 2, x = 9 ____ z 2– y2 8.76 x = 73m 8.77 u = 24; A = 24 8.78 Hinweis zur Berechnung: Breite = 16·k, Höhe = 9·k, dh.: (16·k)2 + (9·k)2 = 802. Breite ≈ 69,7cm, Höhe ≈ 39,2 cm 8.79 8.80 a) Die Leiter muss mindestens 3,3m lang sein. b) Mit einer 3m langen Leiter kann Hanna eine Höhe von 2,7m erreichen. 8.81 8.82 ZB: Wie lang muss der schräge Holzbalken sein, wenn die äußerste rechte Holzlatte x Meter lang und der gesamte Zubau y Meter breit ist? 8.83 Der Radfahrer hat eine Steigung von ca. 12% zu überwinden. 8.84 Der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete AC misst 16 quadratische Kästchen, über der Kathete BC sind es 25 quadratische Kästchen. Das Quadrat unter der Hypotenuse misst einen Flächeninhalt von 36 quadratischen Kästchen. Das Dreieck ABC ist nicht rechtwinkelig, da 16 + 25 ≠ 36. 9 Flächeninhalte ebener Figuren Wiederholung: Wissen 9.151 Jedes Dreieck mit der Seitenlänge b und der zugehörigen Höhe hb kann zu einem Rechteck mit den Seitenlängen b und hb ergänzt werden, dessen Flächeninhalt doppelt so groß wie der des Dreiecks ist. Für den Flächeninhalt AR des Rechtecks gilt: AR = b·hb. Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt daher: A = b·h b _ 2 . 9.152 Jedes Parallelogramm mit den Maßen a und ha und dem Flächeninhalt A = a·ha wird durch Einzeichnen einer Diagonalen in zwei allgemeine Dreiecke mit den Maßen a und ha zerlegt, deren Flächeninhalte jeweils die Hälfte des Flächeninhalts des Parallelogramms sind. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt daher: A = a·h a _ 2 . 1 -1 -2 -3 -4 -5 2 3 4 5 1 -1 -5 -4 -3 -2 O 2. Achse 1. Achse 2 3 4 5 A A’ C Spiegelgerade C’ B B’ ähnlich nicht ähnlich 1 2 1 ‒1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒2 ‒3 O 2. Achse 1. Achse 2 3 ‒4 ‒5 A C B 279 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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