Lösungen 1 Ganze Zahlen Wiederholung: Wissen 1.118 Ein Pluszeichen vor einer Zahl kann die Temperatur in Grad über null angeben, die Höhe in Meter über dem Meeresspiegel, die Länge in Dezimeter nach einem Absprungbalken, den Guthabenstand in Euro auf dem Konto etc. Ein Minuszeichen vor einer Zahl kann die Temperatur in Grad unter null angeben, die Höhe in Meter unter dem Meeresspiegel, die Länge in Dezimeter vor einem Absprungbalken, den Schuldenstand in Euro auf dem Konto etc. 1.119 Eine Zahlengerade ist eine Menge von unendlich vielen Punkten, die Zahlen entsprechen. Eine Zahlengerade ist ein nach links verlängerter Zahlenstrahl, dh. die Zahlengerade hat keinen Anfang und kein Ende, während der Zahlenstrahl bei 0 beginnt und kein Ende hat. 1.120 Ja, jede ganze Zahl hat sowohl einen Vorgänger als auch einen Nachfolger. Nein, es gibt keine kleinste und keine größte ganze Zahl. Ist a eine ganze Zahl, so nennt man ‒a die Gegenzahl von a. Kompetenzcheck 1.124 1.125 Die Temperatur ist in diesem Zeitraum um 13 °C angestiegen. 1.126 neuer Kontostand: ‒3000€ 1.127 a) ‒167 < ‒43 < ‒2 < ‒1 < 0 < 8 < 19 < 45 b) ‒372 < ‒23 < ‒22 < ‒6 < ‒5 < 4 < 22 < 370 1.128 Der neue Kontostand beträgt ‒239€. 1.129 Nach sieben Monaten beträgt der Kontostand 167€. 1.130 1.131 Kunigunde hat 115€ auf dem Konto gehabt. 1.132 1) M arianengraben und Großglockner: 14798m 2) Marianengraben und Death Valley: 10915m 3) Death Valley und Apetlon: 199m 4) Apetlon und Großglockner: 3684m 1.133 a) 7 b) (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) = (‒24) c) ( ‒888)(‒37) = (+24) oder (‒888)(+24) = (‒37) 1.134 Rechnung Ergebnis A (‒22) + (‒18) – (‒73) + (‒8) 25 B (‒22)·(+8) + (‒73)·(‒8) 408 C (‒73) + (‒8) – [(‒22) + (‒18)] ‒41 D [(‒22) + (‒18)]·[(‒73) – (+8)] 3240 (73) + (‒8) + [(‒22) – (+8)] 35 [(‒22) + (‒18)]·[(‒73) – (‒8)] 2600 (‒73)·(‒8) + (‒22)·(+8) 408 1.135 1) 2) Summe der Lastschriften: 2810€, Summe der Gutschriften: 400€ 2150€ – 2810€ + 400€ = ‒260€ 1.136 1.137 (‒18) – (‒13) = ‒18 + 13 = ‒5 (‒13) – (‒18) = ‒13 + 18 = 5 Da ‒5 ≠ 5, gilt das Kommutativgesetz für die Subtraktion im Bereich der ganzen Zahlen nicht. 1.138 Die Zahl ‒8 liegt auf der Zahlengeraden weiter links als die Zahl ‒5. 1.139 Ist a > 0, gilt die Regel „Plus mal plus ist plus“, also a·a º 0, zB: (+4)·(+4) = 4·4 = 16 º 0. Ist a < 0, gilt die Regel „Minus mal minus ist plus“, also (‒a)·(‒a) = a·a º 0, zB: (‒3)·(‒3) = 3·3 = 9 º 0. Ist a = 0, ist 0·0 = 0 º 0. 2 Rationale Zahlen Wiederholung: Wissen 2.107 Eine Zahl, die in Bruchdarstellung so angeschrieben werden kann, dass Zähler und Nenner jeweils ganze Zahlen sind, wobei der Nenner ≠ 0 sein muss, nennt man rationale Zahl. 2.108 Die Zahl 0 kann man als Bruch darstellen, indem der Zähler 0 und der Nenner eine beliebige Zahl ≠ 0 ist, zB 0 = 0 _ 3 = 0 _ ‒16 = 0 _ 1= … Man kann sowohl Zahlen in endlicher als auch in periodischer Dezimaldarstellung als Bruch anschreiben, bei dem Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, wobei der Nenner ≠ 0 sein muss. 2.109 1) Q ist die Menge der rationalen Zahlen. 2) Q+ ist die Menge der positiven rationalen Zahlen. 3) Q– ist die Menge der negativen rationalen Zahlen. Kompetenzchecks 2.112 2.113 8 ‒ 20 _ 5 0 _ 127 2.114 zB: ‒ 7 _ 32, ‒ 3 _ 16, ‒ 5 _ 32 2.115 2.116 13 _ 36 2.117 3 _ 4 2.118 Die Durchschnittstemperatur in dieser Woche beträgt ‒2,5 °C. 2.119 ·(‒0,4) ·(‒0,4) ·(‒4) ·(‒1) ·0 2.120 2.121 21 + 5 1 _ 3· “ 3 _ 8– 2 – 1 §= 7 2.122 Der Quotient zweier negativer rationaler Zahlen kann nur eine positive Zahl sein. Daher kann das Ergebnis nicht ‒5 sein. 2.123 > > = = < > 2.124 161 _ 990 2.125 Die Zahl ‒ 7 _ 4 = ‒1,75, liegt auf der Zahlengeraden rechts von der Zahl ‒ 5 _ 2= ‒2,5. 2.126 149 _ 20 = 7,45 2.127 ‒ 3 _ 5 (‒3)· 1 _ 5 2.128 1) ‒12,6 °C < ‒7,7°C < ‒5,8 °C < ‒2,1 °C 2) ‒3,4 °C < ‒0,2 °C < 2,5 °C < 6,3 °C 3) 7,5 °C < 8,3 °C < 8,4 °C < 9,2 °C Die Differenz ist in Radstadt am größten, in Hohenems am kleinsten. 2.129 Sie hat nicht Recht. Der Fehler ist in der vierten Zeile auf der rechten Seite der Gleichung zu finden: “ ‒ 26 _ 5 §· “ ‒ 3 _ 8 § = + 26·3 _ 5·8 und nicht ‒ 26·3 _ 5·8 , wie es hier steht. 3 Potenzen und Wurzeln Wiederholung: Wissen 3.113 Eine Potenz an ist die vereinfachte Darstellung eines Produkts mit gleichen Faktoren. Der Exponent (die Hochzahl) n einer Potenz gibt an, wie oft die Basis a als Faktor mit sich selbst multipliziert wird. a·a·a·a·…·a = an n Faktoren 3.114 Bei ‒an wird die Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert und von diesem Produkt wird die Gegenzahl genommen. Bei (‒a)n wird die Zahl (‒a) n-mal mit sich selbst multipliziert. 3.115 1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die Basis mit der Summe (Differenz) der Exponenten potenziert. Die Exponenten müssen jeweils natürliche Zahlen (außer 0) sein. Bei der Division muss zusätzlich gelten, dass die Basis nicht null sein darf, weiters muss der Exponent der Potenz im Zähler größer sein als der Exponent der Potenz im Nenner. 2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man das Produkt (den Quotienten) der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Die Exponenten müssen jeweils natürliche Zahlen (außer 0) sein. Bei der Division muss zusätzlich gelten, dass die Basis der Potenz im Nenner nicht null sein darf. Kompetenzcheck 3.118 a) 27·34 c) (‒4)3· “ 1 _ 10 § 5 b) 23·52·73 d) 1,872·(‒5)2·64 3000 2 000 1 000 0 ‒1 000 ‒2000 ‒3000 ‒4000 4000 ‒6500 x ‒2 ‒1 0 10 4·x – 2 ‒10 ‒6 ‒2 38 Tag Lastschrift in Euro Gutschrift in Euro Kontostand in Euro 2150,– 3. April 350,– 1 800,– 9. April 120,– 1 920,– 11. April 1 560,– 360,– 18. April 870,– ‒510,– 25. April 280,– ‒230,– 26. April 30,– ‒260,– 1 1,5 0 0,5 ‒1,5 ‒1 ‒0,5 ‒2 ‒2,5 ‒0,3 ‒ ‒21 5 9 10 1,4 alter Kontostand Ein- oder Auszahlungen neuer Kontostand ‒200,30€ 350,90€ 150,60€ ‒49,40€ 250,20€ 200,80€ 1 208,30€ ‒5000€ ‒3791,70€ richtig falsch Gegenbeispiel 2 _ 3 + 3 _ 2≠ 0 Der Kehrwert von 4 ist 1 _ 4. ‒1,5 ‒1 ‒2 ‒2,5 ‒3 ‒5 2 ‒ 7 4 276 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
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