Prisma und Pyramide EXTRABLATT 10.7 Scherungen Aufgaben 10.134 Führt eine Scherung des Rechtecks ABCD zu einem Rechteck ABC’D’ durch, bei dem die Seite AB fix bleibt! Hinweis: Achtet darauf, dass die Seiten BC’ und AD’ parallel sind! Eine Scherung einer Figur ist eine Verformung durch Verschiebung, die nichts am Flächeninhalt der Figur ändert. Dabei wird eine Seite fixiert, alle anderen Punkte der Figur werden parallel zu dieser Seite verschoben (siehe nebenstehende Abbildung bzw. Abschnitt 9.8). Eine Möglichkeit, das Volumen eines Körpers zu ermitteln, ist die Scherung im Raum. Ein Stapel von 30 Kärtchen zu einem Quader zusammengesetzt hat ein Volumen, das sich leicht mit dem Produkt aus Länge, Breite und Höhe ermitteln lässt. Verschiebt man nun alle 30 Kärtchen so, dass ein schiefes quadratisches Prisma entsteht, sollte auch für diesen Körper dasselbe Volumen gelten. Verdreht man nun alle 30 Kärtchen zu einem recht kunstvollen Körper, kann man sicher sein, dass auch hier das Volumen noch stets dasselbe ist wie bei dem Quader aus den 30 Kärtchen. Bei einer Scherung entsteht durch das Verschieben der Kärtchen ein stufenförmiger Körper, dessen Volumen bei ganz exakter Betrachtung ein kleines bisschen von dem des Quaders abweicht. Je dünner aber die Kärtchen sind, desto genauer liegt das Ergebnis beim Volumen des Quaders. Dahinter steckt das Prinzip von CAVALIERI, benannt nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura CAVALIERI (1598–1674), das Folgendes besagt: Zwei Körper K 1und K 2mit gleicher Höhe h haben das gleiche Volumen, wenn die Inhalte aller ebenen Schnittflächen miteinander übereinstimmen, die parallel zu einer vorgegebenen Ebene E in jeder Höhe z durchgeführt werden a g a A b B c C a’ b’ C’ h E K1 K2 z C A B D C C’ 10 257 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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