10.6 Volumen, Masse und Oberflächeninhalt von Pyramiden Volumen einer Pyramide 10.102 In der Vorweihnachtszeit basteln Katrin und Raoul Kerzen. Katrin verwendet eine prismenförmige Gussform, Raouls Form hat die Gestalt einer Pyramide. Beide Formen haben gleiche Grundflächen und gleiche Höhen. Nachdem Katrin und Raoul aus je zwei Litern Wachs Kerzen gegossen haben bemerken sie, dass Raoul dreimal so viele Kerzen hat wie Katrin. Katrin glaubt: „Haben ein Prisma und eine Pyramide gleiche Grundflächeninhalte und gleiche Höhen, so ist das Volumen des Prismas dreimal so groß wie das der Pyramide. Umgekehrt ist das Volumen der Pyramide ein Drittel des Volumens des Prismas.“ Hat Katrin Recht? Argumentiere mit Hilfe der Grafik! Lösung: Dem Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge a können sechs gleich große Pyramiden so eingeschrieben werden, dass sie den Würfel vollständig ausfüllen. Die Pyramide ABCDS ist blau hervorgehoben. Zähle die anderen fünf Pyramiden, durch Angabe ihrer Ecken auf! DAEHS, , , , . Da alle diese Pyramiden dasselbe Volumen haben, ist das Volumen einer solchen Pyramide der sechste Teil des Würfelvolumens! V Würfel= a·a·a = a·a·2h w V Pyramide = V Würfel _ 6 = a·a·2h __ 6 = a·a·h _ 3 Setzt man in der letzten Formel a·a = G, so erhält man V = G·h _ 3 als Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide. Diese für den Spezialfall eines Würfels und einer quadratischen Pyramide gezeigte Formel gilt für jede Pyramide. Ist G der Inhalt der Grundfläche und h die Höhe einer Pyramide, so gilt für das Volumen der Pyramide: V = G·h _ 3 (Volumen = Grundflächeninhalt mal Höhe geteilt durch 3) Aufgaben 10.103 Berechne das Volumen V einer quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a und der Pyramidenhöhe h! a) a = 5 cm, h = 3 cm b) a = 35mm, h = 71mm c) a = 6,4cm, h = 9mm d) a = 2,5m, h = 0,4m 10.104 Wie groß ist das Volumen V einer geraden Pyramide mit der Höhe h, deren Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b ist? Berechne! a) a = 6 cm, b = 3 cm, h = 2 cm b) a = 4,5m, b = 1,9m, h = 7m Ó I A B A a a a C D E S h h h F G H 1 3 Ó Demo – f42mv7 O O 10 251 Prisma und Pyramide Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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