Oberflächeninhalt eines Prismas 10.57 1) Welche Maßeinheiten können bei Aufgaben zu geometrischen Körpern vorkommen? 2) Bei welchen Berechnungen werden dabei welche Einheiten verwendet? Beschreibt diese mit Hilfe der richtigen mathematischen Begriffe und formuliert jeweils zwei passende Aufgabenstellungen aus eurem Lebensumfeld! Die Gesamtheit aller Begrenzungsflächen bildet die Oberfläche eines Körpers. 10.58 Ana möchte einen kleinen Beistelltisch neu streichen. Der 40 cm hohe Tisch hat die Form eines Prismas, dessen Grundfläche ein rechtwinkelig-gleichschenkeliges Dreieck mit einer Kathetenlänge von a = 50 cm ist. Wie groß ist die Fläche, die Ana streichen muss? Lösung: Ana zeichnet das Netz des Prismas und erkennt, dass die Oberfläche aus zwei kongruenten Dreiecken und drei Rechtecken besteht. Für den Oberflächeninhalt O benötigt sie den Flächeninhalt dieser Flächen. Für den Inhalt A von Grund- bzw. Deckfläche gilt: A = a·a _ 2 = 50·50 _ 2 = 1 250 (cm2) Der Mantel setzt sich aus zwei gleich großen Rechtecken I und dem Rechteck II zusammen. Für den Flächeninhalt von Rechteck I gilt: AI = a·h = 50·40 = 2000 (cm2). Um mit AII = c·h den Flächeninhalt von Rechteck II berechnen zu können, muss zuerst mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes die Länge c der Hypotenuse des Dreiecks ermittelt werden. c = 9 _____ a2 + a2= 9 _______ 502 + 502= 9 _________ 2500 + 2500= 9 ____ 5000= 70,7106… ≈ 71 (cm). AII = c·h = 70,71…·40 = 2828,4271… ≈ 2828 (cm2). Ana erhält das Flächenmaß O durch Addieren der einzelnen Flächeninhalte: O = 2·A + 2·AI + AII = 2·1 250 + 2·2000 + 2828,42… = 9328,4271…≈ 9328 (cm2) Ist G der Inhalt der Grundfläche und M der Inhalt der Mantelfläche eines Prismas, so gilt für den Oberflächeninhalt O des Prismas: O = 2·G + M (Oberflächeninhalt = doppelter Grundflächeninhalt plus Mantelflächeninhalt) I B D O DECKFLÄCHE GRUNDFLÄCHE a a M A N T E L a a a a a c a I I II h 10 243 Prisma und Pyramide Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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