Flächeninhalte ebener Figuren EXTRABLATT 9.8 Flächenteilungen Aufgaben 9.155 Schneidet aus kariertem Papier eine Figur wie in Abbildung 9.1 aus, zerlegt sie in die angegebenen sechs Flächenteile und setzt diese wie in Abbildung 9.2 zusammen! Warum sind auf einmal zwei Kästchen verloren gegangen? Ein dreieckiger Acker soll so geteilt werden, dass einerseits fünf Personen einen gleich großen Anteil davon erhalten und andererseits die Trennlinie eine ZickZack-Form aufweist. Die erste Bedingung lässt sich leicht erfüllen. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus Seitenlänge und zugehöriger Höhe. Im Dreieck ABC wäre er demnach _ AB· h 1 _ 2 . Um fünf Personen den gleichen Flächenanteil zu sichern, muss lediglich die Seite AB bei gleicher Höhe in fünf gleich große Teile geteilt werden. Der Flächeninhalt eines Anteils wäre 1 _ 5· _ AB· h 1 _ 2 . Nur liegt keine Trennlinie in Zick-Zack-Form vor. Die Lösung sieht so aus: Der Inhalt der Fläche Ø, dh. des Dreiecks ADC, macht genau 1 _ 5des Inhalts der Dreiecksfläche ABC aus. Übrig bleibt ein Dreieck DBC, das die weiteren 4 _ 5der gesamten Dreiecksfläche beinhaltet. Bei diesem wird nun die Seite BC in vier gleich große Teile geteilt. Die vier entstandenen Dreiecke haben alle die gleiche Höhe h2 . Der Inhalt der Dreiecksfläche DEC ist nun 1 _ 4des Flächeninhalts des Dreiecks DBC und gleichzeitig 1 _ 5des Inhalts der Dreiecksfläche ABC. Die Zick-Zack-Linie wird nun so weitergeführt, dass die Strecke DB in drei gleich große Teile geteilt wird. Mit dem Teilungspunkt F entsteht das Dreieck FBE. Nun wird noch die Strecke BE in zwei gleichgroße Teile geteilt und mit FG der letzte Teil der Zick-Zack-Linie eingetragen. Für die Flächeninhalte aller fünf Dreiecke gilt nun: AADC = ADEC = ADFE = AFGE = AFBG C A B I II III V IV C1 h1 C2 C3 C4 C5 AB 1 5 C A D B h1 I C A D E B h2 I II C A D F G E B I II III V IV C Abb. 9.1 Abb. 9.2 9 227 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Ve lags öbv
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