Der pythagoräische Lehrsatz EXTRABLATT 8.4 Die Erben des Pythagoras Aufgaben 8.70 Der Kapitän eines kleinen Schiffes, das sich auf dem offenen Meer befindet, fragt sich, wie weit es doch bis zum Horizont sei. Er weiß, dass er den Horizont von einem Standpunkt aus sieht, der h = 3m über der Wasseroberfläche ist. Ebenso ist ihm bekannt, dass die Erde annähernd die Form einer Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r = 6378 km hat. Helft dem Kapitän beim Finden der Antwort auf seine Frage nach der Sichtweite s! 8.71 Wie lang ist x? Pythagoräische Zahlentripel Die Pythagoräer bauten nach dem Tod des PYTHAGORAS Schulen und lehrten dort die Methoden des logischen Beweisens. Die Suche nach ganzzahligen Lösungen für den pythagoräischen Lehrsatz war von großer Bedeutung. Man versuchte zwei Quadrate zu finden, die zusammengelegt ein drittes Quadrat ergeben. So kann ein Quadrat, das aus 9 Teilquadraten besteht, mit einem zusammengelegt werden, das aus 16 Teilquadraten besteht. Es entsteht ein Quadrat aus 25 Teilquadraten. Drei ganze Zahlen, die den pythagoräischen Lehrsatz erfüllen, nennt man pythagoräisches Zahlentripel. Im Fall von 9 + 16 = 25 bzw. 32 + 42 = 52 ergeben die Zahlen a = 3, b = 4 und c = 5 ein pythagoräisches Zahlentripel. Weitere dieser unendlichen vielen Zahlentripel, die alle die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, sind: 5, 12, 13 15, 8, 17 7, 24, 25 9, 40, 41 33, 56, 65 usw. Der Satz von Fermat-Wiles Pierre de FERMAT (1601 –1665) wollte herausfinden, wie viele ganzzahlige Lösungen es für die Gleichung a3 + b3 = c3 gibt und fand heraus, dass es dafür offenbar keine einzige ganzzahlige Lösung gibt. FERMAT versuchte es auch mit höheren Exponenten, also a4 + b4 = c4, a5 + b5 = c5, …, aber auch hier konnte er keine ganzzahlige Lösung finden. Sein Lehrsatz: „Die Gleichung a n+ b n= c nhat für n = 3, 4, 5, 6, … keine ganzzahligen Lösungen.“ konnte über mehrere hundert Jahre nicht bewiesen werden. Die klügsten mathematischen Köpfe waren nur in der Lage, Teile dieses scheinbar einfachen Lehrsatzes zu bestätigen. Erst im Jahr 1995 konnte er von dem britischen Mathematiker Andrew WILES (*1953) nach einem gescheiterten Versuch auf über 100 Seiten bewiesen werden. Pierre de Fermat Andrew Wiles C r s r H K h M C x x 7 A D B C 8 193 Nur u Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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