Beweis nach Leonardo da Vinci Selbst der berühmte italienische Universalgelehrte LEONARDO da Vinci (1452–1519) lieferte einen geometrischen Beweis: Über die beiden Katheten des rechtwinkeligen Dreiecks ABC sowie über dessen Hypotenuse werden Quadrate gezeichnet. Das zum Dreieck ABC kongruente Dreieck KHL wird an das Hypotenusenquadrat angeschlossen. Die Punkte C und L, E und F sowie D und G werden verbunden. Der Flächeninhalt des Sechsecks AHLKBC setzt sich aus dem Flächeninhalt des Quadrats AHKB und dem doppelten Flächeninhalt des Dreiecks ABC zusammen. Damit ist der Flächeninhalt des Sechsecks doppelt so groß wie der des Vierecks AHLC, welches flächengleich mit dem Viereck ABFE ist. Damit sind auch die Sechsecke AHLKBC und ABFGDE flächengleich und somit auch flächeninhaltsgleich. In beiden Sechsecken finden sich die Flächen zweier rechtwinkeliger zu ABC kongruenter Dreiecke. Also muss die Summe der Flächeninhalte der Quadrate BFGC und ACDE gleich dem Flächeninhalt des Quadrats AHKB sein. Daraus folgt für _ BC= a, _ AC= b und _ AB= c der pythagoräische Lehrsatz: a 2 + b 2 = c 2 . Aufgaben 8.66 Einen Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes von Henry PERIGAL hat Henry DUDENEY 1917 wieder aufgenommen: Die nummerierten Teilflächen der beiden Kathetenlängenquadrate passen – anders geordnet – genau in das weiße Hypotenusenlängenquadrat. Schneidet die Figuren im Anhang des Buches aus und legt die einzelnen Teilflächen so in das Hypotenusenlängenquadrat, dass dieses vollständig bedeckt ist und die Teilflächen einander nicht überdecken! Zusammenfassung In jedem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c gilt: a2 + b2 = c2 (Satz des Pythagoras). Gilt in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c eine Beziehung a2 + b2 = c2, so ist dieses Dreieck rechtwinkelig. Wiederholung: Wissen 8.67 Welche Eigenschaft muss ein Dreieck haben, damit der pythagoräische Lehrsatz angewendet werden kann? 8.68 Welche Bestimmungsstücke eines rechtwinkeligen Dreiecks müssen gegeben sein, damit der pythagoräische Lehrsatz sinnvoll angewendet werden kann? 8.69 Erkläre genau, wie die Länge einer Kathete ermittelt werden kann, wenn die Länge der anderen Kathete sowie die Hypotenusenlänge eines rechtwinkeligen Dreiecks gegeben sind! A B C F G D E L K H Ó D A A B 1 2 3 4 5 C B a b c A B C 192 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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