Der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete a ist a·a = a2. Der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete b ist b·b = b2. Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c ist c·c = c2. Addiert man nun bei einem rechtwinkeligen Dreieck die Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten a und b, so erhält man den Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c. Satz des Pythagoras In jedem rechtwinkeligen Dreieck ABC mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c gilt: a2 + b2 = c2 Bemerkung: Gilt in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c eine Beziehung a2 + b2 = c2, so ist dieses Dreieck rechtwinkelig (Umkehrung des Satzes von Pythagoras). Dieser Lehrsatz ist zwar nach dem griechischen Philosophen PYTHAGORAS von Samos (ca. 580 v. Chr. ‒ 500 v. Chr.) benannt, war aber vermutlich schon in vorgriechischer Zeit bei den Ägyptern und Babyloniern bekannt. Wenn vom „pythagoräischen Lehrsatz“ die Rede ist, deutet dies darauf hin, dass er von Pythagoras oder von seinen Schülern, den Pythagoräern, zum ersten Mal bewiesen wurde. 8.02 Konstruiere das rechtwinkelige Dreieck ABC mit den beiden Kathetenlängen a = 3cm und b = 4 cm sowie der Hypotenusenlänge c = 5 cm! Konstruiere über a, b und c das jeweils zugehörige Quadrat und zeige auf zwei Arten, dass der pythagoräische Lehrsatz a2 + b2 = c2 gilt! Lösung: 1. Art: Die Summe der Anzahlen der Einheitsquadrate in den beiden Quadraten über den Katheten a und b entspricht der Anzahl der Einheitsquadrate im Quadrat über der Hypotenuse c. 2. Art: 32 + 42 = 3·3 + 4·4 = 9 + 16 = 25 52 = 5·5 = 25 Also gilt: 32 + 42 = 52 Aufgaben 8.03 Formuliere den pythagoräischen Lehrsatz mit den Variablen im abgebildeten Dreieck! a) b) c) c a b a2 b2 c2 a b c A B C O A c A B C b a D I f g h z x y v u w 8 181 Der pythagoräische Lehrsatz Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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