Figuren vergrößern und verkleinern EXTRABLATT 7.6 Der goldene Schnitt Aufgaben 7.93 Ein Motiv kann statisch und langweilig erscheinen, wenn es sich genau im Zentrum eines Bildes befindet. Der goldene Schnitt lässt Objekte harmonisch wirken. Selbst die Proportionen des Körpers entsprechen annähernd der Teilung im goldenen Schnitt. Diesem Prinzip folgen einige Werke des Künstlers LEONARDO da Vinci (1452–1519). a) Überprüfe in Abb. 7.4 („Der vitruvianische Mensch“), ob (a + b)a ≈ ab! b) Die Mona Lisa (Abb. 7.5) ist auf einem gleichschenkeligen Dreieck aufgebaut. Überprüfe, ob dessen Schenkellängen sich zur Basisseitenlänge nach dem goldenen Schnitt verhalten! Das geometrische Mittel Es ist bekannt, dass das arithmetische Mittel _ xzweier Zahlen a und b mit der Formel _ x= a + b _ 2 berechnet werden kann. Dabei gilt: a + b – a _ 2 = _ xund _ x+ b – a _ 2 = b. Das geometrische Mittel _ x gzweier Zahlen a und b wird mit _ x g= 9 ___ a·bberechnet und es gilt: a· 9 __ b _ a= _ x g und _ x g· 9 __ b _ a= b. Es kommt vor allem in der Wirtschaftsmathematik und bei geometrischen Sachverhalten zur Anwendung. Die stetige Teilung Eine Strecke AB nennt man im Punkt T stetig oder im goldenen Schnitt geteilt, wenn gilt: _ AB _ AT= _ AT _ TB oder anders angeschrieben _ AB _ AT = _ AT _ _ TB Die Länge der Strecke AT ist somit das geometrische Mittel aus der Länge der Strecke TB und der Länge der Gesamtstrecke AB. Man kann also schreiben: _ AT= 9 _____ _ AB· _ TB Der Punkt T lässt sich durch stetige Teilung der Strecke AB konstruieren; außerdem wird hiermit gleichzeitig ein geometrischer Beweis mit Hilfe des Strahlensatzes geliefert: Dabei gilt stets: _ AB _ AT= _ AT _ TB≈ 61,838,2. Merke: Die gesamte Streckenlänge verhält sich zur größeren Teilstreckenlänge wie die größere Teilstreckenlänge zur kleineren. A B AB 1 2 A T D D C C’ B A B T b a Abb. 7.4 Abb. 7.5 7 177 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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