7.3 Ähnlichkeit bei geometrischen Figuren Ähnlichkeit bei Dreiecken 7.30 Zeichnet ein rechtwinkeliges Dreieck ABC, mit den Kathetenlängen a = 1 cm und b = 1,5 cm, danach ein zweites rechtwinkeliges Dreieck A’B’C’, dessen Katheten doppelt so lang sind wie die des ersten Dreiecks, und zuletzt ein drittes ebenfalls rechtwinkeliges Dreieck A’’B’’C’’, dessen Katheten dreimal so lang sind wie a und b. Ermittelt die Maße der fehlenden Seiten und Winkel! Was fällt auf? Lösung: c = 1,8 cm, α = 34°, β = 56° a’ = a·2 = 2 cm, b’ = b·2 = 3 cm, c’ = c·2 = 3,6 cm, α ’ = 34°, β ’ = 56° a’’ = a·3 = 3 cm, b’’ = b·3 = 4,5 cm, c’’ = c·3 = 5,4 cm, α ’’ = 34°, β ’’ = 56° Verdoppelt bzw. verdreifacht man die Kathetenlängen, so verdoppelt bzw. verdreifacht sich die Länge der Hypotenuse, die Winkelmaße ändern sich jedoch nicht. Das Dreieck wird dadurch größer, hat aber die gleiche Gestalt. Die Dreiecke sind einander ähnlich. Dreieck ABC ~ Dreieck A’B’C’ ~ Dreieck A’’B’’C’’ Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: Dreiecke sind einander ähnlich, wenn sie • • in den Verhältnissen entsprechender Seitenlängen übereinstimmen (abc = a’b’c’ bzw. aa’ = bb’ = cc’) oder • • in zwei Winkelmaßen – und damit in allen dreien – übereinstimmen (α = α’ bzw. β = β’ bzw. γ = γ’) oder • • in den Verhältnissen je zweier Seitenlängen und dem Maß des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen oder • • in den Verhältnissen zweier Seitenlängen und dem Maß des der längeren Seite gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen. O I C A B a C α β c b A’ B’ C’ a’ α’ β’ b’ c’ A’’ B’’ C’’ a’’ α’’ β’’ b’’ c’’ a α β γ γ’ b c a’ α’ β’ b’ c’ 162 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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