4.4 Die binomischen Formeln Eingliedrige Terme werden als Monome, mehrgliedrige Terme als Polynome bezeichnet. Einen Spezialfall stellen zweigliedrige Terme dar, die als Binome bezeichnet werden. 4.120 Ein Quadrat hat die Seitenlänge (a + b). 1) Berechne den Flächeninhalt A dieses Quadrats! 2) Begründe das Ergebnis anhand der Abbildung! Lösung: 1) A = (a + b)2 = (a + b)·(a + b) = = a·a + b·a + a·b + b·b = = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 2) Das große Quadrat mit der Seitenlänge (a + b) besteht aus einem Quadrat mit dem Flächeninhalt a2, einem Quadrat mit dem Flächeninhalt b2 und aus zwei gleich großen Rechtecken, die jeweils a·b als Flächeninhalt haben. Die Summe der vier Flächeninhalte a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 ergibt den Flächeninhalt des großen Quadrats. 4.121 Ein Quadrat hat die Seitenlänge a. Erkläre geometrisch anhand der Abbildung, warum der Flächeninhalt des färbigen Rechtecks a2 – 2ab + b2 ist! Lösung: Das färbige Rechteck hat den Flächeninhalt (a – b) 2. Diesen erhält man, wenn von dem Flächeninhalt des großen Rechtecks die Flächeninhalte der drei weißen Rechtecke abgezogen werden: a2 – b·(a – b) – b2 – b·(a – b) = = a2 – ab + b2 – b2 – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 Durch Ausmultiplizieren des Terms (a – b)2 erhält man ebenso: (a – b)·(a – b) = a·a – a·b – a·b + b·b = a2 – 2ab + b2 Das Produkt der Binome (a + b) und (a – b) ist (a + b)·(a – b) = a·a + a·b – a·b – b·b = a2 – b2. Die binomischen Formeln Für Terme A, B gilt: (1) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (2) (A – B) 2 = A 2 – 2AB + B 2 (3) (A + B) · (A – B) = A 2 – B 2 Zu den drei binomischen Formeln kann man der Vollständigkeit halber noch hinzufügen: (‒A + B) 2 = A 2 – 2AB + B 2 (‒A – B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 Beispiele: (x + 6 y)2 = x2 + 2·x·6 y + (6 y)2 = x2 + 12 x y + 36 y2 (4p – 5q)2 = (4p)2 – 2·4p·5q + (5q)2 = 16p2 – 40pq + 25q2 (8u + 3 v)·(8u – 3 v) = (8u)2 + 3 v·8u – 3 v·8u – (3 v)2 = 64u2 – 9 v2 O A a a b b b2 a2 a . b a . b a +b a +b Ó O A a ‒ b b b b2 (a ‒ b)2 a ‒ b b . (a ‒ b) b . (a ‒ b) a a Ó Ó Demo – 4mf276 4 105 Mit Termen und Formeln arbeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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