1 0 2 1 2 Mathematik verstehen Salzger | Bachmann | Germ | Riedler | Singer | Ulovec Auch mit E-Book+ erhältlich
Mathematik verstehen 3, Schülerbuch mit E-Book Schulbuchnummer 175251 Mathematik verstehen 3, Schülerbuch mit E-Book+ Schulbuchnummer 200181 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 18. März 2015, GZ 5.018/0094-B/8/2014, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Neuen Mittelschulen für die 3. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 2. August 2021, GZ. 2021-0.428.279 teilt das Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 3, Schülerbuch“ (BNR 175.251) kein Einwand besteht. Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 4. August 2020, GZ BMBWF5.018/0035-Präs/14/2019, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit gelten-den Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Neuen Mittelschulen für die 3. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 4. August 2021, GZ. 2021-0.428.179 teilt das Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 3, Schülerbuch mit E-BOOK+“ (BNR 200.181) kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Ó s4436e Informationen für Lehrerinnen und Lehrer auf www.oebv.at im Bereich Digitales Zusatzmaterial. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagfoto: plainpicture / Cavan Images; olaser / Getty Images - iStockphoto; öbv, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2022 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dr.in Helene Ranetbauer, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11147-0 (Mathematik verstehen SB 3 + E-Book) ISBN 978-3-209-11159-3 (Mathematik verstehen SB 3 + E-Book+) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at 3 Mathematik verstehen Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. Aufgaben Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Handlungsbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Darstellen, Modellbilden (H1) 1.06 … Operieren, Rechnen (H2) 1.07 … Interpretieren (H3) 1.08 … Argumentieren, Begründen (H4) Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Code am Ende der Seite angeführt ist, gibt es dazu eine entsprechende Online-Ergänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Die Abkürzung Info führt zu weiteren Hintergrundinformationen. Jene mit Demo bietet interaktive Applets zum besseren Theorieverständnis. Unter Übung gibt es weitere Übungsaufgaben, die direkt am Computer zu lösen sind. Die Abkürzung Werkzeug kennzeichnet Aufgaben, die mittels Technologie (GeoGebra, Tabellenkalkulation, …) gelöst werden können. Für diese Aufgaben ist der Einsatz des Taschenrechners sinnvoll. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 283. D O I A C B Ó ó Hier siehst du, in welchem Inhaltsbereich du dich gerade befindest. 2 Inhaltsbereich Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis Es geht weiter… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I 1: Zahlen und Maße 1 Ganze Zahlen 20 1.1 Zahlen gegensätzlich deuten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Die Zahlengerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3 Ganze Zahlen ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.7 EXTRABLATT Das Minus ist das Plus des Negativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.8 Kompetenzcheck 42 2 Rationale Zahlen 44 2.1 Eigenschaften rationaler Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Rationale Zahlen ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3 Rationale Zahlen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5 Der Absolutbetrag einer rationalen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.7 EXTRABLATT Rationale Zahlen konstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.8 Kompetenzcheck 66 3 Potenzen und Wurzeln 68 3.1 Was ist eine Potenz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2 Mit Potenzen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 Zehnerpotenzen verwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Die Quadratwurzel einer Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5 EXTRABLATT Das Gnomon und seine Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6 Kompetenzcheck 84 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
I 2: Variablen, funktionale Abhängigkeiten 4 Mit Termen und Formeln arbeiten 86 4.1 Terme und Formeln aufstellen und interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Terme addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3 Terme multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Die binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5 Mit Bruchtermen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.6 Gleichungen und Formeln umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.7 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.8 EXTRABLATT Formelwissen ist Macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.9 Kompetenzcheck 120 5 Lineare Wachstums- und Abnahmemodelle 122 5.1 Wachstum und Abnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2 Das lineare Zeit-Ort-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.3 Das lineare Kostenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4 Das lineare Gebührenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Das lineare Zinsenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.6 Sind alle Wachstums- und Abnahmeprozesse linear? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.7 EXTRABLATT Sparen und Kredite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.8 Kompetenzcheck 142 I 3: Geometrische Figuren und Körper 6 Die vier Quadranten des Koordinatensystems 144 6.1 Positive und negative Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2 Mit Koordinaten rechnen 150 6.3 EXTRABLATT Wegweiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4 Kompetenzcheck 154 7 Figuren vergrößern und verkleinern 156 7.1 Kongruenz und Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7.2 Verhältnisse und Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.3 Ähnlichkeit bei geometrischen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.4 Proportionales Vergrößern und Verkleinern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.5 Strahlensätze 171 7.6 EXTRABLATT Der goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.7 Kompetenzcheck 178 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Der pythagoräische Lehrsatz 180 8.1 Quadrate und rechtwinkelige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.2 Längen von Hypotenuse und Katheten ermitteln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.3 Den pythagoräischen Lehrsatz beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.4 EXTRABLATT Die Erben des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.5 Kompetenzcheck 194 9 Flächeninhalte ebener Figuren 196 9.1 Dreiecke und Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.2 Der Flächeninhalt von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.3 Der Flächeninhalt von Parallelogramm und Rhombus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.4 Der Flächeninhalt des Trapezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.5 Der Flächeninhalt des Deltoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.6 Die Flächeninhalte weiterer ebener Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.7 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.8 eXTRABLATT Flächenteilungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.9 Kompetenzcheck 228 10 Prisma und Pyramide 230 10.1 Eigenschaften von Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 10.2 Netze und Schrägrisse von Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 10.3 Volumen, Masse und Oberflächeninhalt von Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.4 Eigenschaften von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 10.5 Netze und Schrägrisse von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.6 Volumen, Masse und Oberflächeninhalt von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 10.7 eXTRABLATT Scherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.8 Kompetenzcheck 258 I 4: Statistische Darstellungen und Kenngrößen 11 Merkmale 260 11.1 Arten von Merkmalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 11.2 Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11.3 Vergleich von Merkmalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 11.4 eXTRABLATT Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 11.5 Kompetenzcheck 274 Lösungen zum Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Stichwortregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Daten erheben 1 In der 3A sind 24 Schülerinnen und Schüler. Sie wurden gefragt, worauf sie sich im neuen Schuljahr am meisten freuten und welche Ziele sie hätten: Vorfreude Ziele Sportwoche |||| | gute Noten |||| || Freunde treffen |||| ||| aktive Mitarbeit || Spaß im Unterricht || Neues lernen |||| neue Freundschaften ||| mehr Selbstständigkeit |||| | Unterricht im Lieblingsfach |||| weniger Konflikte |||| 1) Wie viele Schülerinnen und Schüler freuen sich am meisten darauf, ihre Freunde wiederzusehen? Gebt den Anteil dieser Kinder in Bruch- und in Prozentdarstellung an! 2) „Mehr Selbstständigkeit“ wird von sechs Schülerinnen und Schülern als Ziel für das neue Schuljahr genannt. Gebt den Anteil dieser Kinder in Bruch- und in Prozentdarstellung an! 3) In welcher Grafik sind die „Vorfreude“ bzw. die „Ziele“ dargestellt? Ergänzt die Beschriftung! 4) Worauf freut ihr euch am Beginn der 3. Klasse? Welche Ziele habt ihr für dieses Schuljahr? Tauscht euch mit den Schülerinnen und Schülern eurer Klasse aus! C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Es geht weiter… 6 Was haben wir im letzten Schuljahr gelernt? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 In der 3B sind 27 und in der 3C sind 25 Schülerinnen und Schüler. 1) Am Schulbeginn freuen sich ein Drittel der Schülerinnen und Schüler der 3B sowie 40% der Schülerinnen und Schüler der 3C am meisten darauf, Freunde wiederzusehen. Wie viele Kinder in der 3B bzw. in der 3C sind das jeweils? 2) Zwölf Schülerinnen und Schüler der 3B sowie 15 Schülerinnen und Schüler der 3C freuen sich am meisten auf die Sportwoche. Welcher Anteil der Kinder in der 3B bzw. in der 3C ist das jeweils? Wie viel Prozent der Kinder in der 3B bzw. in der 3C sind das jeweils? 3) Insgesamt 13 Schülerinnen und Schüler aus der 3B und der 3C geben als Ziel an, Neues lernen zu wollen. Welcher Anteil der Kinder aus den beiden Klassen zusammen nennt als Ziel „Neues lernen“? Gib den Anteil in Bruch- und in Prozentdarstellung an! 4) Nur 2 _ 13 aller Schülerinnen und Schüler der 3B und der 3C geben „aktive Mitarbeit“ als Ziel für das kommende Schuljahr an. Wie viele Kinder aus beiden Klassen zusammen haben dieses Ziel? 3 Das Ergebnis einer Erhebung über die schulischen Ziele von 200 Schülerinnen und Schülern ist in folgenden Grafiken dargestellt: 1) Überlegt und begründet, in welchen Grafiken absolute bzw. in welchen Grafiken relative Häufigkeiten angegeben sind! 2) Welchen Vorteil haben Grafiken mit absoluten Häufigkeiten gegenüber Grafiken mit relativen Häufigkeiten? Welcher Vorteil ist durch die Darstellung von relativen Häufigkeiten gegeben? 3) Wie viele der Befragten geben „weniger Konflikte“ als Ziel an? Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler geben „weniger Konflikte“ als Ziel an? 4) Wie viele der befragten Schülerinnen und Schüler nennen „gute Noten“, „Neues lernen“ oder „aktive Mitarbeit“ als Ziel für das kommende Schuljahr? Gebt den Anteil dieser Kinder in Bruch- und in Prozentdarstellung an! 5) Überlegt, was eine „aktive Mitarbeit“ umfasst! C 0 gute Noten aktive Mitarbeit Neues lernen mehr Selbstständigkeit weniger Konflikte 5 10 15 20 25 30 gute Noten: 25 aktive Mitarbeit: 11 Neues lernen: 18 mehr Selbstständigkeit: 22 weniger Konflikte: 24 gute Noten: 50 aktive Mitarbeit: 22 Neues lernen: 36 mehr Selbstständigkeit: 44 weniger Konflikte: 48 0 gute Noten aktive Mitarbeit Neues lernen mehr Selbstständigkeit weniger Konflikte 10 20 30 40 50 60 7 Es geht weiter… Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv
Teiler, Vielfache, Rechnen in Bruch- und Prozentdarstellung 4 1) Ergänze die Sätze korrekt, indem du die entsprechenden Buchstaben einträgst! 2) Gib für jede Teilbarkeitsregel eine zwei- sowie eine dreistellige Zahl an, welche die Regel erfüllt! Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn … die Einerziffer 0 oder 5 ist. A Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn … die Einerziffer 0 ist. B Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn … deren Hälfte auch eine gerade Zahl ist. C Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn … deren Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. D Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn … deren Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. E Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn … die Zahl eine gerade Zahl ist. F Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn … die Zahl gerade und durch 3 teilbar ist. G 5 Setze ! für „ist Teiler von“ bzw. ~ für „ist kein Teiler von“ korrekt ein! 15000 504 35550 8518 1125 2 3 4 5 6 9 10 6 Welche Möglichkeiten gibt es, aus a) 24, b) 56 Bausteinen gleich hohe Türme zu bauen, ohne dass ein Baustein übrig bleibt? Erstelle eine Tabelle! 7 In welche gleichen Euromünzen bzw. Euroscheine kann man a) 40€, b) 76€, c) 28€, d) 100€, e) 205€ zur Gänze wechseln? Gib alle Möglichkeiten an! Erstelle eine Tabelle! 8 Sind die Aussagen über Teiler und Teilbarkeit richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Jede Zahl, die durch 6 teilbar ist, ist auch durch 2 und durch 3 teilbar. Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist stets auch durch 4 teilbar. Jede Zahl, die durch 2 und durch 5 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar. Jede Zahl, die durch 15 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar. Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar. Jede Zahl, die durch 100 teilbar ist, ist stets auch durch 25 teilbar. Jede Zahl, die durch 15 teilbar ist, ist auch durch 3 und durch 5 teilbar. 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Eine Terrasse ist 6,4m lang und 3m breit. Sie soll mit quadratischen Fliesen ausgelegt werden. Es stehen Fliesen mit folgenden Kantenlängen zur Verfügung: 15 cm, 20 cm, 25 cm, 30 cm, 50 cm. Bei der Verlegung der Fliesen soll weder in der Länge noch in der Breite der Terrasse „gestückelt“ werden. Begründe, welche Kantenlänge für die Verfliesung am besten geeignet ist! 10 a) Gib die Teilermenge von 36 an! T36 = { , , , , , , , , } b) Sind die Aussagen über Teiler und Teilbarkeit der Zahl 36 richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Wenn man 36 durch 9 dividiert, erhält man einen Teiler von 36. Wenn man alle Teiler von 36 miteinander multipliziert, erhält man 36. Ist 4 ein Teiler von 36, dann ist 36 ein Vielfaches von 4. Die Division von 36 durch einen Teiler von 36 ergibt immer null Rest. Die Teilermenge von 36 enthält die Teiler 1 und 36. Das Produkt aller Primfaktoren von 36 ergibt die Zahl 36. Die Teilermenge von 36 besteht aus 10 Teilern. 11 1) Gib jeweils die Teilermengen an! T27 = { , , , } T28 = { , , , , , } T30 = { , , , , , , , } T35 = { , , , } T38 = { , , , } T42 = { , , , , , , , } 2) Gib die größten gemeinsamen Teiler an! ggT (35; 30) = ggT (42; 28) = ggT (42; 30) = ggT (35; 28) = ggT (30; 27) = ggT (42; 38) = 3) Kürze die Brüche durch den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner! 30 _ 35= 28 _ 42= 30 _ 42= 28 _ 35= 27 _ 30= 38 _ 42= 12 Kürze den Bruch auf den angegebenen Zähler bzw. Nenner! a) 8 _ 12 = ____ 3 c) 63 _ 35 = 9 ____ e) 30 _ 24 = ____ 4 g) 45 _ 33 = 15 _____ i) 36 _ 48 = ____ 4 b) 72 _ 45 = 8 ____ d) 18 _ 66 = _____ 11 f) 42 _ 30 = 7 ____ h) 42 _ 56 = ____ 4 j) 27 _ 33 = 9 ____ 13 Kürze den Bruch so weit wie möglich! a) 8 _ 24 b) 11 _ 33 c) 9 _ 27 d) 12 _ 16 e) 8 _ 12 f) 13 _ 39 g) 42 _ 49 h) 12 _ 27 i) 16 _ 32 j) 24 _ 27 9 Es geht weiter… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 Ordne den Zahlen in Dezimaldarstellung die passenden Dezimalbrüche sowie die gekürzten Zahlen in Bruchdarstellung zu! Kennzeichne gleiche Werte mit gleichen Buchstaben! 4,056 4,506 5,604 5,36 4,305 4,35 4,035 5,064 5,036 5,306 5,64 5 64 _ 100 4 56 _ 1000 5 36 _ 100 5 36 _ 1000 4 305 _ 1000 4 506 _ 1000 5 306 _ 1000 5 604 _ 1000 5 64 _ 1000 4 35 _ 100 4 35 _ 1000 4 253 _ 500 5 151 _ 250 5 8 _ 125 4 7 _ 200 4 7 _ 20 5 9 _ 25 5 16 _ 25 4 61 _ 200 4 7 _ 125 5 153 _ 500 5 9 _ 250 15 1) Schreibe in den Mengenklammern die Vielfachen an, die kleiner oder gleich 60 sind! V8 = { , , , , , , , …} V9 = { , , , , , , …} V10 = { , , , , , , …} V12 = { , , , , , …} V14 = { , , , , …} V15 = { , , , , …} 2) Gib jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache an! kgV (15; 10) = kgV (15; 9) = kgV (12; 8) = kgV (10; 8) = kgV (12; 9) = kgV (14; 8) = 3) Ermittle jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner zweier Zahlen und erweitere beide Brüche auf diesen kleinsten gemeinsamen Nenner! 2 _ 15 = , 3 _ 10 = 4 _ 9= , 2 _ 15 = 7 _ 8= , 5 _ 12 = 9 _ 8= , 3 _ 10 = 4 _ 9= , 11 _ 12= 5 _ 8= , 3 _ 14 = 4) Berechne! 2 _ 15 + 3 _ 10 = 4 _ 9 – 2 _ 15 = 7 _ 8 + 5 _ 12 = 9 _ 8 – 3 _ 10 = 4 _ 9 + 11 _ 12= 5 _ 8 – 3 _ 14 = 16 Berechne und kürze das Ergebnis, wenn möglich! a) 5 _ 6 + 3 _ 4 b) 3 _ 4 – 7 _ 10 c) 1 _ 7 + 2 _ 3 d) 4 _ 10 – 2 _ 15 e) 3 _ 10 + 3 _ 8 f) 7 _ 9 – 1 _ 12 g) 3 _ 8 + 5 _ 12 h) 2 _ 3 – 3 _ 10 17 Berechne und kürze das Ergebnis, wenn möglich! Gib das Ergebnis in Dezimaldarstellung an! Trage bei den Lösungen die passenden Buchstaben ein! A 1 1 _ 3 + 2 4 _ 15 B 2 1 _ 4 – 1 1 _ 12 C 3 5 _ 6 + 1 2 _ 9 D 1 1 _ 15 + 7 _ 10 E 4 – 1 3 _ 8 F 1 1 _ 6 + 1 3 _ 10 G 4 3 _ 4 – 1 3 _ 10 2,4 • 6 3,6 2,625 1,1 • 6 3,45 1,7 • 6 5,0 • 5 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 1) Welche Primfaktorenzerlegung gehört zu welcher Zahl? 375 = 40 = 250 = 150 = 625 = 16 = 54 = 36 = 24 = 60 = 90 = 81 = 2·2·3·3 2·3·3·5 2·3·3·3 3·3·3·3 5·5·5·5 3·5·5·5 2·2·3·5 2·2·2·3 2·2·2·2 2·3·5·5 2·5·5·5 2·2·2·5 2) Ermittle jeweils den größten gemeinsamen Teiler! ggT (54; 24) = ggT (90; 60) = ggT (81; 36) = ggT (150; 16) = 3) Ermittle jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache! kgV (54; 24) = kgV (90; 60) = kgV (81; 36) = kgV (150; 16) = 19 Sind die Aussagen über Teiler und Primzahlen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Jede zusammengesetzte Zahl kann als Produkt von Primzahlen berechnet werden. Alle Primzahlen sind ungerade Zahlen. Haben zwei Zahlen keine gemeinsamen Teiler größer als 1, dann sind die beiden Zahlen teilerfremd. Die kleinste Primzahl ist 1. Das Produkt zweier Zahlen enthält alle Primfaktoren der ersten und der zweiten Zahl. Ist der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen 1, dann ist das kgV dieser Zahlen das Produkt beider Zahlen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 20 1) Stelle die Zahlen 2 _ 5, 7 _ 10 , 53 _ 100 , 3 _ 4, 87 _ 100 , 63 _ 100 auf dem Zahlenstrahl dar! 2) Ordne die Zahlen in einer Kleiner-Kette! < < < < < 21 Stelle die Zahlen 2 _ 5, 3 _ 10 , 1 _ 4, 1 _ 10 , 1 _ 5auf den drei Zahlenstrahlen und dem Ausschnitt eines Zahlenstrahls mit jeweils derselben Farbe dar! 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 2 1 0 0,2 0,3 0,4 0,1 1 5 0 2 5 3 5 4 5 5 5 0,2 0,3 0,4 0,5 0,1 0 11 Es geht weiter… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 Ergänze die Sätze durch korrektes Zuordnen! Zwei Zahlen in Bruchdarstellung werden dividiert, indem man … Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Zwei Zahlen in Bruchdarstellung werden multipliziert, indem man … den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Ein Bruch wird erweitert, indem man … Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Ein Bruch wird gekürzt, indem man … Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. 23 Berechne und kürze das Ergebnis, wenn möglich! a) 5 _ 16 · 4 _ 3 b) 9 _ 16 4 _ 3 c) 7 _ 10 · 15 _ 14 d) 16 _ 15 8 _ 5 e) 10 _ 8 5 _ 4 f) 5 _ 12 · 8 _ 20 g) 3 _ 7 9 _ 14 h) 10 _ 16· 12 _ 25 i) 24 _ 11 16 _ 33 24 Berechne und kürze das Ergebnis, wenn möglich! Gib das Ergebnis in Dezimaldarstellung an! Trage zu den Lösungen die passenden Buchstaben ein! A 1 3 _ 4·1 2 _ 3 B 9 _ 13 1 1 _ 26 C 2 2 _ 3·1 9 _ 16 D 2 7 _ 81 7 _ 16 E 19 _ 32·2 4 _ 19 F 51 5 _ 20 G 1 7 _ 16 ·4 4 0, • 6 4,1 • 6 2 2,91 • 6 5,75 1,3125 25 Der Elternverein hat beim Schulfest 1 215€ Gewinn gemacht. 4 _ 9davon werden für die Unterstützung von Projektwochen ausgegeben, 2 _ 5des Gewinns für die Anschaffung von Unterrichtsmaterial. 1) Wie viel Geld gibt der Elternverein für die Unterstützung von Projektwochen aus? 2) Wie viel Geld stellt der Elternverein für den Kauf von Unterrichtsmaterialien zur Verfügung? 3) Welcher Bruchteil der Einnahmen bleibt übrig? Wie viel Geld bleibt übrig? 26 Ordne die passende Rechnung sowie das richtige Ergebnis den Aufgaben zu! In einer Packung sind 15 Liter Blumenerde. Wie viele Töpfe mit einem Dreiviertelliter Fassungsvermögen können damit gefüllt werden? 3 1 _ 2 1 _ 2 6 3 _ 4 Ein Auto verbraucht durchschnittlich 4 1 _ 2Liter auf 100 km, im Stadtverkehr allerdings das 1 1 _ 2-Fache davon. Wie hoch ist der Verbrauch in der Stadt? 15 3 _ 4 11 1 _ 4 Shirley schneidet ein 3 1 _ 2m langes Zierband in drei gleich lange Teile. Wie lang ist ein Stück? 4 1 _ 2·1 1 _ 2 1 1 _ 6 Simon hat 3 1 _ 2 kg Nüsse gekauft. Er füllt die Nüsse in Packungen zu je 1 _ 2kg. Wie viele Packungen erhält er? 15· 3 _ 4 7 Noras Schulweg ist 15 km lang. Drei Viertel davon hat sie mit dem Fahrrad bereits zurückgelegt. Wie weit ist sie geradelt? 4 1 _ 21 1 _ 2 3 Dominik schneidet von einem 4 1 _ 2 Meter langen Draht mehrere 1 1 _ 2m lange Stücke ab. Wie viele Drahtstücke erhält er? 3 1 _ 23 20 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
27 In der 3A sind 24 Schülerinnen und Schüler. 1) In der 3D ist die Schülerzahl das 11 _ 12-Fache der Schülerzahl der 3A. Wie viele Schülerinnen und Schüler sind in der 3D? 2) Die Schülerzahl der 3A macht 3 _ 54 der Gesamtschülerzahl der Schule aus. Wie viele Schülerinnen und Schüler besuchen diese Schule? 28 Beachte die Vorrangregeln und vereinfache den Term! Welches Zwischenergebnis und welches Endergebnis gehört zu welcher Aufgabe? Aufgabe 2 _ 3 “ 3 _ 4 + 4 _ 5· 1 _ 2 § 2 _ 3 3 _ 4 + 4 _ 5· 1 _ 2 2 _ 3 “ 3 _ 4 + 4 _ 5 §· 1 _ 2 “ 2 _ 3 3 _ 4 + 4 _ 5 §· 1 _ 2 Zwischenergebnis 2 _ 3 31 _ 20· 1 _ 2 “ 8 _ 9 + 4 _ 5 §· 1 _ 2 8 _ 9 + 2 _ 5 2 _ 3 “ 15 _ 20 + 8 _ 20 § Ergebnis 40 _ 69 1 13 _ 45 20 _ 93 38 _ 45 29 Gib die Zahl in Bruchdarstellung an und kürze, wenn möglich! a) 55% = b) 70% = c) 14% = d) 65% = e) 44% = f) 16% = 30 Gib die Zahl in Prozentdarstellung an! a) 3 _ 20 = b) 4 _ 5= c) 13 _ 25= d) 3 _ 4= e) 3 _ 8= f) 3 _ 40 = 31 Lukas bekommt 16€ Taschengeld monatlich, Klark 20€ und Sara 22€. Ordne jeder Fragestellung den passenden Rechenansatz zu! Um wie viel Prozent erhält Sara mehr Taschengeld als Lukas? x _ 100 ·20 = 4 Wie viel Prozent des Taschengeldes von Sara erhält Klark? x _ 100 ·22 = 16 Wie viel Prozent des Taschengeldes von Sara erhält Lukas? x _ 100 ·16 = 6 Um wie viel Prozent erhält Lukas weniger Taschengeld als Klark? x _ 100 ·22 = 20 Wie viel Prozent des Taschengeldes von Lukas erhält Sara? x _ 100 ·16 = 22 32 Lisa benötigt für die Mathematikhausübung 15 Minuten, Marco 20 Minuten und Mona 23 Minuten. Gib eine zum Rechenansatz passende Fragestellung an! a) x _ 100 ·15 = 5 b) x _ 100 ·20 = 15 c) x _ 100 ·23 = 15 d) x _ 100 ·15 = 20 33 In einer Kleinstadt leben 900 Jugendliche im Alter von 10 bis 14 Jahren, das sind 15% der Bevölkerung. 1) Wie viele Personen leben in der Kleinstadt? 2) 24% der Bevölkerung dieser Kleinstadt gehen zur Schule. Wie viele Personen sind das? 3) 2160 Einwohner der Stadt besitzen ein Fahrrad. Wie viel Prozent der Bevölkerung dieser Kleinstadt sind das? 13 Es geht weiter… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
34 Evas Kinderzimmer wird neu eingerichtet. Die Möbel kosten 469€ (ohne Mehrwertsteuer). 1) Berechne den Preis der Einrichtung zuzüglich 20% Mehrwertsteuer! 2) Vom Preis inklusive Mehrwertsteuer werden 15% Rabatt abgezogen. Wie viel kosten die Möbel nach Abzug des Rabatts? 3) Eva hat die Reihenfolge der Rechnungen vertauscht: Sie hat von 469€ zuerst 15% Rabatt abgezogen, also 0,85·469€ = 398,65€. Dann hat sie 20% Mehrwertsteuer hinzugerechnet und somit 1,2·398,65€ = 478,38€ als Verkaufspreis ermittelt. Hat Eva richtig gerechnet? Worin liegen die Unterschiede zum Rechenweg in 1) und 2)? Was bleibt gleich? 4) Evas Bruder Tom hat die beiden Prozentsätze zusammengefasst: Er hat 20% – 15% = 5% und dann 1,05·469€ gerechnet. Begründe, dass er nicht dasselbe Ergebnis erhalten hat wie Eva! 35 Im Werbeprospekt einer Heimtextilien-Firma steht: „‒20% Mehrwertsteuer!“ Frau Klein kauft Waren im Wert von 120€ (inklusive 20% Mehrwertsteuer). 1) Wie hoch ist der Geldbetrag der Mehrwertsteuer? 2) Frau Klein zahlt den Preis ohne Mehrwertsteuer. Wie viel Prozent des ursprünglichen Verkaufspreises hat Frau Klein weniger bezahlt? 3) Begründe, dass der Text im Werbeprospekt irreführend ist! 36 In der 3C werden eine Klassensprecherin und ein Klassensprecher gewählt. Das Ergebnis der Wahl ist in folgenden Prozentstreifen dargestellt: Yaren Shirley Jessica Nikolas Christoph Dominik Adrian Lies von den beiden Prozentstreifen ab, wie viel Prozent der Stimmen auf jede Kandidatin bzw. jeden Kandidaten entfallen! Alle 25 Schülerinnen und Schüler der 3C haben gewählt. Wie viele Stimmen haben die Kandidatinnen bzw. Kandidaten erhalten? Yaren Shirley Jessica Nikolas Christoph Dominik Adrian Prozent der Stimmen Stimmenanzahl 37 In der 3D mit 25 Schülerinnen und Schülern gab es bei der Mathematikschularbeit folgende Ergebnisse: sechs Sehr gut, neun Gut, fünf Befriedigend, drei Genügend und zwei Nicht genügend. 1) Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler erhielten eine positive Note? 2) Wie viel Prozent der Arbeiten entfallen auf jede Note? 3) Stelle die relativen Häufigkeiten der Notenverteilung in einem Prozentstreifen dar! 38 Das Ergebnis der Englischschularbeit in der 3B lautet: vier Sehr gut, sieben Gut, drei Befriedigend und zwei Genügend. 1) Wie viele Schülerinnen und Schüler sind in der Englischgruppe? 2) Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler erhielten ein besseres Ergebnis als ein Befriedigend? 3) Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler erhielten welche Note? 4) Stelle die relativen Häufigkeiten der Notenverteilung in einem Kreisdiagramm dar! C - 20% Mehrwertsteuer 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Dreiecke: E igenschaften, Konstruktion, besondere Punkte, Berechnungen 39 Kreuze in der Tabelle für jedes Dreieck die zutreffende(n) Eigenschafte(n) an! A B C D E F G spitzwinkelig gleichseitig stumpfwinkelig gleichschenkelig rechtwinkelig 40 Sind die Aussagen über Dreiecke richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Ein stumpfwinkeliges Dreieck kann auch gleichseitig sein. Die Summe der Winkelmaße in einem Dreieck beträgt stets 180°. Jedes stumpfwinkelige Dreieck hat zwei spitze Winkel. Ein gleichschenkeliges Dreieck kann einen rechten Winkel haben. Ein Dreieck mit verschieden großen Winkeln hat unterschiedlich lange Seiten. Ein gleichseitiges Dreieck kann einen rechten Winkel haben. Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, dann ist es gleichschenkelig. 41 1) Berechne das fehlende Winkelmaß des Dreiecks! 2) Gib an, ob es sich um ein spitz-, ein recht- oder um ein stumpfwinkeliges Dreieck handelt! a) α = 63°, β = 40° c) β = 56°, γ = 39° e) β = 37°, γ = 53° b) α = 90°, γ = 44° d) α = 34°, β = 27° f) α = 28°, γ = 48° 42 1) Fertige eine Skizze an und markiere die gegebenen Bestimmungsstücke färbig! 2) Gib in der zweiten Spalte der Tabelle den passenden Kongruenzsatz an! 3) Konstruiere das Dreieck und beschrifte es vollständig! 4) Miss die gesuchte Größe und vergleiche sie mit dem Wert in der dritten Spalte! a) b = 70mm, α = 65°, γ = 83°; Wie lang ist die Seite a? a = 12 cm b) c = 4 cm, α = 120°, b = 5,5 cm; Wie lang ist die Seite a? a = 8,3 cm c) c = 4,8 cm, α = 35°, β = 110°; Wie lang ist die Seite a? a = 4,8 cm d) a = 42mm, b = 64mm, β = 81°; Wie groß ist der Winkel α? α = 40,4° e) a = 36mm, b = 58mm, c = 66mm; Wie groß ist der Winkel α? α = 33° f) b = 79mm, c = 49mm, β = 112°; Wie groß ist der Winkel γ? γ = 35° g) c = 5 cm, a = 4 cm, β = 125°; Wie lang ist die Seite b? b = 8 cm A B E F C D G 15 Es geht weiter… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
43 Überprüfe, ob folgende Dreiecke konstruierbar sind. Wenn ja, konstruiere das Dreieck! Wenn nicht, gib an, welche Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist! a) a = 6,8 cm, b = 5,3 cm, c = 12,1 cm c) a = 4,2 cm, b = 5,3 cm, c = 6,4 cm b) a = 12,5 cm, b = 5,7cm, c = 6,2 cm d) a = 6,8 cm, b = 10,7cm, c = 3,5 cm 44 1) Trage in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: A = (7 1 1), B = (9 1 8), C = (7 1 0), D = (1 1 3), E = (3 1 8) 2) Verbinde die Punkte A und B und konstruiere die Streckensymmetrale mAB! 3) Zeichne den Winkel α = ¼CDE ein und konstruiere die Winkelsymmetrale w α ! 4) Gib die Koordinaten des Schnittpunkts S von w α mit mAB an! 45 1) Trage in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: S = (7 1 0), T = (0 1 3), U = (7 1 2), V = (1 1 6), W = (5 1 8) 2) Zeichne die Strecke ST und konstruiere die Streckensymmetrale mST der Strecke ST! 3) Zeichne den Winkel φ = ¼UVW und konstruiere die Winkelsymmetrale w φ ! 4) Gib die Koordinaten des Schnittpunkts P von mST und w φ an! 46 Im Dreieck sind eine Streckensymmetrale, eine Winkelsymmetrale, eine Höhe und eine Schwerlinie eingezeichnet. 1) Beschrifte die Linien korrekt! Beachte dabei, welche der vier Linien – Streckensymmetrale, Winkelsymmetrale, Höhe, Schwerlinie – Strecken und welche Geraden sind! a) b) 2) Welche besondere Lage haben die Höhen und der Höhenschnittpunkt in einem rechtwinkeligen Dreieck? 3) Welche besondere Lage hat der Umkreismittelpunkt in einem rechtwinkeligen Dreieck? 47 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Eine Winkelsymmetrale halbiert einen Winkel. Für jeden Punkt auf einer Winkelsymmetralen gilt: Der Normalabstand zu beiden Winkelschenkeln ist gleich groß. Die Höhe in einem Dreieck ist gleich dem Normalabstand des Eckpunkts zur gegenüberliegenden Seite. Eine Streckensymmetrale steht immer im rechten Winkel zur Strecke. Eine Höhenlinie steht im rechten Winkel zur zugehörigen Seite. Eine Schwerlinie ist im Dreieck die kürzeste Verbindung von einer Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Für jeden Punkt auf einer Streckensymmetralen einer Strecke ST gilt: Der Abstand zu S ist gleich groß wie der Abstand zu T. A a b c B C A B C a b c 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
48 Gib an, welcher besondere Punkt im Dreieck konstruiert wurde! Beschrifte alle Punkte und Linien im Dreieck! a) c) b) d) 49 Was gilt für die besonderen Punkte im Dreieck? Verbinde Zusammengehöriges! Der Umkreismittelpunkt … liegen bei stumpfwinkeligen Dreiecken außerhalb des Dreiecks. Eine Höhe und eine Seitensymmetrale … verbindet den Seitenmittelpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt. Der Inkreismittelpunkt … stehen im rechten Winkel zu der Seite. Auf dem Schwerpunkt … liegen stets innerhalb des Dreiecks. Der Höhenschnittpunkt und der Umkreismittelpunkt … ist der Schnittpunkt der Seitensymmetralen und liegt von den Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt … ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen und liegt von allen Dreiecksseiten gleich weit entfernt. Eine Schwerlinie … kann das Dreieck ausbalanciert werden. 50 Berechne den Umfang u und den Flächeninhalt A des rechtwinkeligen Dreiecks ABC! a) a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, α = 90° b) a = 15 cm, b = 25 cm, c = 20 cm, β = 90° c) a = 15mm, b = 36mm, c = 39mm, γ = 90° d) a = 15 cm, b = 8 cm, c = 17cm, γ = 90° 51 Der Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks beträgt 12 cm2. Welche Dreiecke mit folgenden Kathetenlängen haben diesen Flächeninhalt? Kreuze die passenden Angaben an! a = 6 cm, b = 4 cm b = 2,6 cm, c = 10 cm a = 8 cm, c = 3 cm b = 6,5 cm, c = 2 cm a = 10,4 cm, c = 2,5 cm a = 10,2 cm, c = 2,3 cm B A A C 17 Es geht weiter… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Quader, Würfel: Volumen und Oberflächeninhalt, Maßeinheiten 52 Gib an, ob ein Flächeinhalt (A), ein Volumen (V) oder eine Masse (M) berechnet werden soll: a) Wie viel wiegt ein mit Wasser gefülltes Aquarium? b) Wie viele Fliesen werden für das Verfliesen der Badezimmerwände benötigt? c) Wie viel Erde wird benötigt, damit ein Holztrog aufgefüllt werden kann? d) Wie schwer ist eine Palette Bodenfliesen? e) Wie viel Liter fasst ein Aquarium? f) Wie viel Farbe wird für das Streichen eines Holztrogs benötigt? g) Wie viel Quadratmeter Glas müssen bei einem Aquarium gereinigt werden? 53 Ein Swimmingpool ist 12,5m lang, 8m breit und 2,2m tief. 1) Der Swimmingpool wird neu verfliest. Für wie viel Quadratmeter werden Fliesen benötigt? 2) Für 1m2 Fliesen werden einschließlich Verlegung 13,5€ verrechnet. Wie viel kostet die Verfliesung des Pools? 3) Der Swimmingpool wird mit Wasser bis zu 20 cm unter den oberen Rand gefüllt. Wie viel Hektoliter Wasser werden benötigt? 54 Familie Pichler lässt die Küche ausmalen. Die Küche ist 4m lang, 3m breit und 2,5m hoch. Für die Tür und das Fenster werden insgesamt 4m2 abgezogen. Wie viele Quadratmeter Fläche müssen gestrichen werden? 55 Familie Jarosch hat im Garten eine Zisterne (quaderförmige Grube) angelegt, in der Regenwasser für den Garten gesammelt wird. Die Zisterne ist 3,2m lang, 2,5m breit und 1,2m tief. a) Wie viel Kubikmeter Regenwasser fasst die Zisterne? b) Wie viel Hektoliter Regenwasser sind in der Zisterne, wenn der Wasserspiegel bis 4dm unter den oberen Rand reicht? c) Wie oft kann man eine 15-Liter-Gießkanne mit Wasser füllen, wenn die Zisterne bis zur Hälfte gefüllt ist? 56 In einer Zisterne befinden sich 75,5m3 Wasser. Im Verlauf einer Woche werden 370hø, 250hø und 40hø Wasser entnommen. Bei einem Regenguss werden 2500 ® aufgefangen und durch Verdunstung gehen 200 ® verloren. Wie viel Kubikmeter Regenwasser sind am Ende der Woche in der Zisterne? 57 a) Benni meint: „Wenn man von einem Würfel mit der Kantenlänge 4 cm die Kantenlänge verdoppelt, so verdoppelt sich dessen Volumen!“; Simon erwidert: „Nein, das Volumen wird viermal so groß!“; Adrian hingegen sagt: „Da wird das Volumen achtmal so groß.“ Wer hat Recht? Begründe die Antwort! b) Amina behauptet: „Ein Würfel mit 1m Kantenlänge hat dasselbe Volumen wie 1 000 Würfel mit 1 cm Kantenlänge.“ Eleonora erwidert: „Nein, ein Würfel mit 1m Kantenlänge hat dasselbe Volumen wie 1 000000 Würfel mit je 1 cm Kantenlänge.“ Wer hat Recht? Begründe die Antwort! 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
58 Vier quaderförmige Blumenkästen (Innenmaße: 80 cm lang, 30 cm breit, 20 cm hoch) werden mit Blumenerde neu aufgefüllt. Reichen fünf Säcke mit jeweils 40 ® Blumenerde aus? Begründe die Antwort durch eine Rechnung! 59 Bingo! Löst die Aufgaben und markiert die Lösungen in beiden untenstehenden Feldern! Wer zuerst die Zahlen in einer Reihe, einer Spalte oder einer Diagonalen markiert hat, hat gewonnen! 10 _ 3 – 2 _ 15 = … 5·(0,5 + 0,04) = … rechtwinkeliges Dreieck: a = 2,5 cm, b = 1,6 cm; A = … 10% von … sind 0,65. β = 175°, supplementärer Winkel: … Quader: a = 2m, b = 1,5m, c = 0,5m; V = … 5% von 12 sind … Rechteck: A = 3,6m2 a = 1,2m, b = … rechtwinkeliges Dreieck: a = 3,2 cm, b = 1,5 cm; A = … 5·x = 4,5 x = … 5 _ 3· 3 _ 2= … …% von 10 sind 0,4. 2·x + 3 = 10 x = … 3,7 – 0,6·5 = … 1 kg Tomaten: 2,4€ 1 _ 2kg Tomaten: … Quader: a = 2m, b = 1,5m, c = 0,5m O = … α = 79°, komplementärer Winkel: … Würfel: a = 1,5mm O = … 20·x – 2 = 8 x = … Dreieck: α = 52°, β = 121°, γ = … Dreieck: α = 76°, γ = 95°, β = … 25% von … sind 1,4. Quadrat: u = 6,8 cm a = … 2 _ 13 von 39 = … 4 _ 7 5 _ 14 = … Quadrat: A = 1m2 a = … 3,5 + x = 7,2 x = … 1 Paprika: 1,2€ 3 Paprika: … 1 _ 4kg Kirschen: 2,4€ 1 kg Kirschen: … 3 _ 2· 2 _ 5= … Rechteck: u = 3,6m a = 0,5m, b = … 1,2 + 12,84 = … 3 _ 5von 8 = … Quader: a = 1,2m, b = 1m, c = 0,5m O = … 5% von 16 sind … 7 _ 8von 4,8 = … 4,4 4,2 2,5 4 0,9 0,8 2 13,5 3,7 3,6 9,5 9,6 1,2 0,7 5,6 3 2 4,6 0,5 5 4 0,6 0,8 1 1,6 7 3,5 0,5 3,7 2,4 6 5,6 4,6 0,9 6,5 1,2 3,6 3,2 13,5 5 11 6 1,5 4,2 4,8 0,7 7 1,1 1 9,6 9 0,6 1,5 6,5 3,2 9 1,7 3 2,5 11 9,5 1,7 4,8 1,1 1,3 2,7 4,4 2,4 2,7 1,6 1,3 3,5 B 19 Es geht weiter… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
I 1 Zahlen und Maße 1.1 Zahlen gegensätzlich deuten 1.01 Beim Weitsprung ist es wichtig, möglichst genau von einem Absprungbalken wegzuspringen. Bei einer Sportveranstaltung wird dieses Absprungverhalten genau aufgeschrieben. Für acht teilnehmende Schüler gibt es die folgenden Daten: Andi: 2dm vor dem Balken Vedran: genau auf dem Balken Max: 1 dm nach dem Balken Ernst: 2dm nach dem Balken Tim: 3dm vor dem Balken Oleg: 4dm vor dem Balken Willi: 1 dm vor dem Balken Gidon: 3dm nach dem Balken Tragt die Absprungstellen in die Zeichnung ein und schreibt den Anfangsbuchstaben des jeweiligen Vornamens dazu! B O Arbeitsheft S 3 Anlauf A vor dem Balken 1 dm 1 dm 2dm 3dm 4dm 4dm 3dm 2dm nach dem Balken Deine Ziele in diesem Kapitel • Ganze Zahlen als Zustände gegenüber einem Nullpunkt deuten können. • Ganze Zahlen auf einer Zahlengeraden erkennen und ordnen können. • Rechenregeln für ganze Zahlen wissen und anwenden können. • Aussagen zur Angemessenheit von Rechnungen mit ganzen Zahlen treffen können. 1 Ganze Zahlen 20 Wozu braucht man Zahlen, die kleiner sind als Null? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.02 In den Niederlanden liegen manche Orte knapp über dem Meeresspiegel und manche knapp darunter. Insgesamt liegen 26% der Fläche des Landes unterhalb des Meeresniveaus. Dies ist auch daher möglich, weil Deiche das Meerwasser von den Siedlungen abhalten. Lest aus der Darstellung ab, wie viele Meter über oder unter dem Meeresspiegel sich der jeweilige Ort befindet und notiert die Daten! Almere: ca. 2m unter dem Meeresspiegel Blaricum: ca. 5m über dem Meeresspiegel Den Helder: ca. dem Meeresspiegel Dordrecht: ca. dem Meeresspiegel Hulst: ca. dem Meeresspiegel Nieuwekerk aan den IJssel: ca. dem Meeresspiegel Roden: ca. dem Meeresspiegel Schiphol: ca. dem Meeresspiegel 1.03 In einer Jännerwoche wird an einem bestimmten Ort jeden Tag zu Mittag die Außentemperatur gemessen und in eine Liste eingetragen. Bis wohin steigt die Flüssigkeitssäule im Thermometer, wenn die folgenden Werte vorliegen? Zeichnet diese ein! Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag 1 °C 2 °C 4 °C 3 °C 2 °C 1 °C 5 °C über null über null über null über null unter null unter null unter null Gerade bei Aufgabe 1.03 wäre es sehr umständlich, je nach Temperatur immer angeben zu müssen, ob sich der Wert „über null“ oder „unter null“ befindet. So ist es etwa bei Temperaturwerten unter 0 °C üblich, ein Minuszeichen vor die Zahl zu setzen. Manchmal setzt man auch bei Temperaturwerten über 0 °C ein Pluszeichen vor die Zahl. Diese Darstellung kann in vielen Bereichen angewendet werden: Beispiele: Aufgabe 1.01: ‒2dm bedeutet: 2 Dezimeter vor dem Absprungbalken +3dm bedeutet: 3 Dezimeter nach dem Absprungbalken Aufgabe 1.02: ‒3m bedeutet: 3 Meter unter dem Meeresspiegel +10m bedeutet: 10 Meter über dem Meeresspiegel Aufgabe 1.03: ‒6 °C bedeutet: 6 Grad Celsius unter null +8 °C bedeutet: 8 Grad Celsius über null So lässt sich erkennen, dass man Zahlen je nach Vorzeichen unterschiedlich deuten kann. Hafen in Dordrecht B 1 1 0 2 2 3 3 4 4 5 5 7 7 8 9 6 6 Seehöhe (in Meter) Hulst Roden Den Helder Dordrecht Schiphol Nieuwekerk aan den IJssel Almere Blaricum B 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 21 Ganze Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Aufgaben 1.04 Auf einem Gitter ist ein roter Punkt markiert. Zeichne a) einen blauen Punkt 3 cm links von dem roten Punkt ein, b) einen grünen Punkt 2 cm rechts von dem roten Punkt ein, c) einen gelben Punkt 5 cm links von dem roten Punkt ein, d) einen schwarzen Punkt 4 cm rechts von dem roten Punkt ein! 1.05 Eine Leiter mit zehn Sprossen steht in einer Grube im Garten. Die dritte Sprosse von unten ist auf gleicher Höhe wie der Garten. Diana steht auf der untersten Sprosse. a) Wie viele Sprossen ist sie unterhalb der Gartenfläche? b) Wie viele Sprossen wäre sie unterhalb der Gartenfläche, wenn sie zwei Sprossen hinaufsteigt? c) Wie viele Sprossen muss sie hinaufsteigen, damit sie auf der Höhe der Gartenfläche steht? d) Wie viele Sprossen muss sie hinaufsteigen, damit sie eine Sprosse über der Gartenfläche steht? 1.06 Lorenz hat 10€ Schulden bei der Bank. Wie viel muss Lorenz bei der Bank einzahlen, damit er a) nur noch 8€ Schulden hat, b) nur noch 3€ Schulden hat, c) keine Schulden mehr hat, aber auch kein Guthaben, d) ein Guthaben von 4€ hat? 1.07 Auf einem Kontoauszug finden sich Gutschriften, die den Kontostand erhöhen, und Belastungen, die ihn verringern und daher mit einem Minuszeichen versehen sind. Wird ein Konto überzogen, bedeutet das, dass mehr abgehoben worden ist, als auf dem Konto zur Verfügung steht. Der neue Kontostand ist daher mit einem Minuszeichen gekennzeichnet. Konto A Konto B Beträge in EUR Beträge in EUR alter Kontostand 837 alter Kontostand 298 Gutschriften 125 Gutschriften 74 Belastungen ‒314 Belastungen ‒627 neuer Kontostand 648 neuer Kontostand ‒255 Vergleicht die beiden Kontoauszüge und kreuzt alle richtigen Aussagen an! Der alte Kontostand zeigt bei beiden Konten ein Guthaben. Die Belastungen sind bei beiden Konten höher als die Gutschriften. Der neue Kontostand zeigt bei beiden Konten Schulden an. Werden auf das Konto B 255€ eingezahlt, ist der Kontostand bei null. Werden die beiden Konten zusammengelegt, steht nun vor dem Kontostand ein Minuszeichen. D D I O I A B 22 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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