8.136 1) δ = 360 – (α + β + γ) = = 360 – (47 + 58 + 102) = 360 – 207 = 153 (°) 2) Ja, da die Summe der Winkelmaße in jedem Viereck 360° beträgt. 8.137 Ein Rechteck ist ein Sonderfall eines Parallelogramms, daher ist die Antwort richtig. Ein Rhombus ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten, daher ist die Antwort richtig. Ein Rhombus kann als Sonderfall eines Deltoids verstanden werden, daher ist die Antwort richtig. Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln, diese Antwort ist falsch. Es handelt sich um ein gleichschenkeliges Trapez. Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar gleich langer Seiten, diese Antwort ist falsch. Es handelt sich um ein allgemeines Viereck. 8.138 Der Umfang eines Vierecks ist die Summe der vier Seitenlängen. Ersetzt man in der Formel gleiche Seitenlängen durch gleiche Variablen, so erhält man die Formeln zur Berechnung des Umfangs der besonderen Vierecke. 8.139 a) 1) A = a·d + (b·d) : 2 2) u = 2·a + b + c + d b) 1) A = x·y + x·z 2) u = 2·(a + b) c) 1) A = a·y 2) u = 4·a d) 1) A = a·b + [x·(a – x)] : 2 2) u = a + 2·b + 2·x + y 8.140 a = 7cm, d = 2 cm, c = 3 cm, f = 4 cm a = 10 cm, α = 50°, β = 200°, γ = 70° a = 8 cm, c = 3 cm, e = 8,5 cm, β = 82° Die Abbildung ist verkleinert dargestellt. 8.141 Rechteck: u = 2·(a + b) = 2·(35 + 40) = 150 (m) A = a·b = 35·40 = 1 400 (m2) Quadrat: u = 150m a = u : 4 = 150 : 4 = 37,5 (m) A = a·a = 37,5·37,5 = 1 406,25 (m2) Das quadratische Grundstück ist um 6,25m2 größer als das rechteckige Grundstück. 8.142 1) A = 9 cm2 2) 3) Die Abbildung ist verkleinert dargestellt. 4) Das Viereck ABCD ist nicht konvex, weil es im Eckpunkt C eine einspringende Ecke hat, der Winkel γ > 180° ist und die Diagonale f = BD außerhalb des Vierecks liegt. 9 Vielecke Wiederholung: Wissen 9.46 1) konvexes Fünfeck nicht konvexes Fünfeck überschlagenes Fünfeck 2) Ein konvexes Vieleck (n-Eck) hat n Eckpunkte, n Seiten und n Innenwinkel, deren Maß jeweils kleiner als 180° ist. Alle Diagonalen, dh. die Verbindungslinien zweier nicht benachbarter Eckpunkte, verlaufen im Inneren des n-Ecks. Ist das Maß nur eines Innenwinkels größer als 180°, ist das n-Eck nicht konvex. Schneiden bzw. berühren einander die Seiten nicht nur in den Eckpunkten, liegt ein überschlagenes n-Eck vor. 9.47 1) Ein gleichseitiges Vieleck ist ein Vieleck mit lauter gleich langen Seiten. 2) Ein gleichwinkeliges Vieleck ist ein Vieleck mit lauter gleich großen Winkeln. 3) Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck mit lauter gleich langen Seiten und lauter gleich großen Winkeln. Alle Eckpunkte liegen auf einer Kreislinie. 9.48 1) Man zeichnet eine Kreislinie. Da bei einem regelmäßigen Sechseck der Radius der Seitenlänge entspricht, wählt man einen beliebigen Punkt auf der Kreislinie, sticht dort mit dem Zirkel ein und schlägt die Länge des Radius auf die Kreislinie ab. Dort sticht man wieder ein und schlägt wieder auf die Kreislinie ab. Dies wiederholt man, bis der Ausgangspunkt wieder erreicht ist. Wenn nun alle sechs Markierungen auf der Kreislinie verbunden werden, erhält man ein regelmäßiges Sechseck. 2) Man zeichnet eine Kreislinie. Durch den Kreismittelpunkt zieht man zwei zueinander normal stehende Durchmesser. Dann konstruiert man die beiden Winkelsymmetralen der entstandenen rechten Winkel. Die beiden Winkelsymmetralen schneiden die Kreislinie in vier Punkten. Die beiden Durchmesser markieren auch vier Punkte auf der Kreislinie. Wenn nun alle acht Markierungen auf der Kreislinie verbunden werden, erhält man ein regelmäßiges Achteck. Kompetenzcheck 9.52 konvex: A, G; nicht konvex: B, C, E, F; überschlagen: D 9.53 1) 20 Diagonalen 2) 8 Symmetrieachsen 3) 1 080°; 135° 4) 45°; 67,5° 9.54 Es gibt 16 nicht konvexe Vielecke. 9.55 1) n _ 2·(n – 3) 2) (n – 2)·180° 3) > 180° 4) n … Dreiecken 5) Innenwinkels 6) n 9.56 Die Abbildung ist verkleinert dargestellt. 9.57 Die Abbildung ist verkleinert dargestellt. β A C B e f D _ AB= a 36° _ BC= b 3,2 cm _ CD= c 68° _ AD= d 5,8 cm _ AC= e 230° _ BD= f 4,1 cm ¼BAD = α 2,2 cm ¼CBA = β 5 cm ¼DCB = γ 26° ¼ADC = δ 5,4 cm A B D C e a b c d P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 r r r r 60° 60° 60° 60° r r a r r 40° 140° 70° 70° 282 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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