Lösungen 1 Teiler und Teilbarkeit Wiederholung: Wissen 1.115 Ist eine natürliche Zahl durch t ≠ 0 teilbar, dann ist t ein Teiler dieser Zahl. Die Menge aller Teiler dieser Zahl nennt man Teilermenge. 1.116 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, welche die Vielfachenmengen dieser Zahlen gemeinsam haben. 1.117 Primzahlen als Teiler nennt man Primteiler bzw. Primfaktoren, die entsprechende Darstellung des Produkts nennt man Primfaktorenzerlegung. Man dividiert eine Zahl durch deren kleinsten Primfaktor, schreibt den Quotienten an und verfährt so lang, bis sich als letzter Quotient 1 ergibt. Kompetenzcheck 1.121 a) ein unechter b) kein c) ein unechter d) ein echter e) ein echter f) kein 1.122 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 1.123 1 Stunde 240 Sekunden 1.124 15 ✓ 16 17 25 ✓ 33 42 60 ✓ 74 81 252 1 002 2464 16260 ✓ Die Zahl 15 ist durch 3·5 = 15 teilbar. Die Zahl 252 ist durch 3·4 = 12 teilbar. Die Zahlen 60 und 16260 sind durch 3·4·5 = 60 teilbar. 1.125 60 36 120 150 35 205 105 606 99 45 75 Diese Zahlen sind Vielfache von 30. 1.126 4 teilt 8; 40; 120; 360000 5 teilt 40; 120; 250; 99045; 360000 6 teilt 120; 360000 9 teilt 909; 1 341; 99045; 360000 10 teilt 40; 120; 360000 20 teilt 40; 120; 360000 1.127 1·144 2·72 3·48 4·36 6·24 8·18 9·16 12·12 144·1 72·2 48·3 36·4 24·6 18·8 16·9 1.128 a) ZB: 1110, 2601, 5187 b) ZB: 1 368, 3724, 8956 c) ZB: 2785, 4500, 7395 d) ZB: 1 008, 4572, 5130 e) ZB: 2214, 3393, 7749 1.129 a) ggT(88; 46) = 2 kgV(88; 46) = 2024 b) ggT(112; 48) = 16 kgV(112; 48) = 336 1.130 a) 36 = 2·2·3·3 d) 702 = 2·3·3·3·13 b) 396 = 2·2·3·3·11 e) 1 375 = 5·5·5·11 c) 525 = 3·5·5·7 f) 2464 = 2·2·2·2·2·7·11 1.131 1) Die Maschinen müssen alle 144 Tage gemeinsam gewartet werden. 2) Am Freitag, dem 8. Jänner, müssen wieder alle drei Maschinen gemeinsam gewartet werden. 1.132 Der größte gemeinsame Teiler von 275 und 55 ist 55 und nicht 11. Daher kann die Lösung 55 nicht stimmen. 1.133 1.134 Das ist nach 5540 cm wieder der Fall. 1.135 Bei dem Ausflug waren 37 Kinder dabei. Man könnte annehmen, dass auch 31 Kinder eine Lösung wäre, da 31 eine Primzahl ist. Würde man jedoch 31 Kinder in Viererreihen aufstellen, blieben drei Kinder übrig. 1.136 Man braucht 252 Würfel mit je einem Volumen von 4913 cm³. (Kantenlänge eines Würfels = 17cm) 1.137 1) 2) 6 ist keine Primzahl. 3360 = 2·2·2·2·2·3·5·7 , Rechenfehler: 2025 : 5 ist nicht gleich 400. 4050 = 2·3·3·3·3·5·5 2 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Wiederholung: Wissen 2.278 Eine Zahl in Bruchdarstellung hat einen Nenner, der angibt, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wird, sowie einen Zähler, der angibt, wie viele Teile es sind; zwischen Zähler und Nenner steht der Bruchstrich. Bei einer Zahl in Dezimaldarstellung sind vor dem Komma die Ganzen angeführt; an der ersten Stelle nach dem Komma stehen die Zehntel, dann die Hundertstel, usw. 2.279 Beim Dividieren von Zahlen in der Bruchdarstellung wird der Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. 2.280 1. Art: Der Zahlenvergleich erfolgt in Dezimaldarstellung: 5 _ 8 = 0,625; 2 _ 3 = 0, • 6 Da 0, • 6> 0,625 ist 2 _ 3 > 5 _ 8. 2. Art: Die Brüche werden auf einen gemeinsamen Nenner erweitert; der Zahlenvergleich erfolgt durch den Vergleich der Zähler: 5 _ 8 = 15 _ 24; 2 _ 3 = 16 _ 24; 16 _ 24 > 15 _ 24 Daher ist 2 _ 3 > 5 _ 8. 3. Art: Der Zahlenvergleich erfolgt durch eine Kreisdarstellung der Zahlen: Daher ist 2 _ 3 > 5 _ 8. Kompetenzcheck 2.283 27 _ 27 = 1 27 _ 90 = 3 _ 10 8 _ 3 = 88 _ 33 3 = 21 _ 7 42 _ 9 = 4 2 _ 3 2.284 a) gemeinsamer Nenner: 15; 5 _ 3 = 25 _ 15; 3 _ 5 = 9 _ 15 b) gemeinsamer Nenner: 20; 3 _ 20 = 3 _ 20; 7 _ 2 = 70 _ 20 c) gemeinsamer Nenner: 18; 7 _ 6 = 21 _ 18; 1 _ 9 = 2 _ 18 d) gemeinsamer Nenner: 60; 5 _ 12 = 25 _ 60; 3 _ 10 = 18 _ 60 2.285 a) 3 _ 4 – 1 _ 8 = 6 _ 8 – 1 _ 8 = 5 _ 8 c) 1 _ 3 – 1 _ 4 = 4 _ 12 – 3 _ 12 = 1 _ 12 b) 1 _ 6 + 1 _ 4 = 2 _ 12 + 3 _ 12 = 5 _ 12 d) 2 _ 3 + 1 _ 6 = 4 _ 6 + 1 _ 6 = 5 _ 6 2.286 0,• 4 2.287 1 _ 3 < 3 _ 8 < 2 _ 5 2.288 33 _ 50 bzw. 0,66 2.289 9 _ 28der Besucher entscheiden sich für Gericht C. 2.290 a) 1) Messung 2) Wie viele Stücke kann man abschneiden? Man kann 13 Stücke abschneiden. b) 1) Messung 2) Wie viele Flaschen werden abgefüllt? Es werden 70 Flaschen gefüllt. c) 1) Teilung 2) Wie viel Kilogramm Kekse sind in einer Schachtel? In einer Schachtel sind 1 1 _ 4kg Kekse. d) 1) Messung 2) Wie viele Figuren kann Diana mit der verbleibenden Farbe bemalen? Sie kann 17 Figuren bemalen. e) 1) Messung 2) Wie viele Sackerl werden gefüllt? 40 Sackerl werden gefüllt. f) 1) Teilung 2) Wie viel Tonnen Schotter befinden sich auf einem Lastwagen? Es befinden sich 11 _ 8 t = 1 3 _ 8t Schotter auf einem Wagen. 2.291 1) Derzeit zahlt sie 610€ Miete. 2) In einem halben Jahr wird sie 732€ Miete zahlen. 2.292 a) 11 _ 2 = 5 1 _ 2 b) 1 _ 2 2.293 a) 7 _ 5 : 1 _ 2 = 14 _ 5 b) 1 3 _ 7· 2 _ 4 = 10 _ 14 c) 3 : 3 _ 12= 12 2.294 1,75 kann als Dezimalbruch angeschrieben werden: 1,75 = 175 _ 100und dann durch 25 gekürzt werden: 175 _ 100 = 7 _ 4. 2.295 a) u = 2 3 _ 10m b) A = 3 _ 10m² 2.296 1) Beide haben 14 1 _ 4kg Nüsse eingesammelt. 2) Jedes erhält 3 1 _ 2kg Nüsse. 3) Es können fünf Säcke (ohne Rest) gefüllt werden. 4) Im Vorjahr hat Anette 8 2 _ 5kg Nüsse aufgesammelt. 2.297 2.298 a) Die beiden Zahlen in Bruchdarstellung werden in Dezimaldarstellung mit je einer Nachkommastelle umgeformt: 3 _ 5= 0,6 bzw. 7 _ 10= 0,7. Beim Rechnen in Bruchdarstellung wird so umgeformt: 0,44 = 44 _ 100 ; die beiden anderen Brüche werden auf Hundertstel erweitert; dieser Lösungsweg erfordert etwas mehr Rechenarbeit. b) Die Zahl 0, • 3wird als 1 _ 3dargestellt; die Brüche werden auf den Nenner 18 erweitert. Beim Rechnen in Dezimaldarstellung wird mit unendlichen periodischen Dezimaldarstellungen gerechnet, was umständlich und fehleranfällig ist. 2.299 5 _ 8 = 625 _ 1 000 Achtel können auf Tausendstel erweitert werden, weil 8 ein Teiler von 1 000 ist: 8·125 = 1 000 3 _ 5 = 6 _ 10Fünftel können auf Zehntel erweitert werden, weil 5 ein Teiler von 10 ist: 5·2 = 10 5 _ 6 und 4 _ 7können nicht auf einen Bruch mit dem Nenner 10 oder 100 oder 1 000 usw. erweitert werden, weil die dekadischen Einheiten 10, 100, 1 000 usw. keine Vielfachen von 6 und 7 sind. 2.230 2 _ 5 des Ganzen ist blau eingerahmt; 1 _ 3 von 2 _ 5 ist orange markiert: 1 _ 3 von 2 _ 5entspricht der Multiplikation 1 _ 3 · 2 _ 5 = 2 _ 15. 3 Relative Anteile Wiederholung: Wissen 3.138 Ein Prozent bedeutet ein Hundertstel. 1% = 1 _ 100= 0,01 3.139 Ein Promille bedeutet ein Tausendstel. 1‰ = 1 _ 1 000= 0,001 > 278 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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