1.3 Gemeinsame Teiler und Vielfache Der größte gemeinsame Teiler Die Teilermengen von zwei natürlichen Zahlen können gemeinsame Teiler haben. Der kleinste gemeinsame Teiler ist stets 1, der größte kann 1 oder eine andere Zahl sein. 1.68 Vor einer Schule soll ein Fahrradabstellplatz mit 96dm Länge und 36dm Breite mit möglichst großen quadratischen Betonplatten ausgelegt werden. Welches Maß soll für die Seitenlänge einer Betonplatte verwendet werden? Lösung: Für das Maß der Seitenlänge einer Betonplatte ist ein gemeinsamer Teiler der Zahlen 96 und 36 notwendig. T96 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96} T36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Die gemeinsamen Teiler der Zahlen 96 und 36 sind: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Die Zahl 12 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 96 und 36. Es ist somit möglich, Betonplatten mit den Seitenlängen 1 dm, 2dm, 3dm, 4dm, 6dm und 12dm zum Auslegen zu verwenden. Da die Betonplatten möglichst groß sein sollen, wird man jene mit der Seitenlänge 12dm wählen. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen z1 und z2 ist die größte Zahl, welche die Teilermengen beider Zahlen z1 und z2 gemeinsam haben. Das Ergebnis aus Aufgabe 1.68 kann man kurz so anschreiben: ggT (96; 36) = 12 Man kann sich dies grafisch folgendermaßen vorstellen: 36 passt in 96 zweimal hinein, es bleibt der Rest 24. 24 passt in 36 einmal hinein, es bleibt der Rest 12. 12 passt in 24 zweimal hinein, es bleibt kein Rest mehr. Rechnerisch bedeutet dies: 9636 = 2, Rest 24 3624 = 1, Rest 12 2412 = 2, Rest 0 Bei dem Divisor 12 bleibt kein Rest mehr. Daher ist 12 der ggT der Zahlen 96 und 36. Dieses Verfahren nennt man den euklidischen Algorithmus nach dem griechischen Mathematiker EUKLID (ca. 300 v. Chr.). Dabei wird die größere der beiden Zahlen durch die kleinere dividiert, dann dividiert man die kleinere durch den Rest der Division usw., bis eine Division den Rest 0 hat. Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der größte gemeinsame Teiler. Ist ggT (z1; z2) = 1, so nennt man die beiden Zahlen z1 und z2 teilerfremd. O I 96dm 12dm 36dm 12dm Ó 96 36 36 24 24 12 12 12 36 24 96 36 12 12 12 12 12 12 12 12 Ó Demo – aa38up 1 23 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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