Dreiecke EXTRABLATT 7.8 Die Euler'sche Gerade Aufgaben 7.172 Konstruiere das Dreieck ABC und zeichne die Euler’sche Gerade ein! Spiegle den Höhenschnittpunkt H an einer Dreiecksseite und überprüfe, ob der gespiegelte Punkt H’ auf dem Umkreis des Dreiecks liegt! a) c = 4,8 cm; α = 80°; β = 45° c) a = b = 5,2 cm; γ = 95° b) a = 5,9 cm; c = 3,5 cm; α = 44° d) a = 4,2 cm; b = 7,4 cm; γ = 60° 7.173 Die Mittelpunkte Ma , Mb , Mc der Dreiecksseiten, die Höhenfußpunkte Ha , Hb , Hc und die Mittelpunkte A’, B’, C’ zwischen den Eckpunkten des Dreiecks und dem Höhenschnittpunkt H liegen auf einem Kreis. Dieser heißt Neunpunktekreis oder Feuerbach-Kreis mit dem Mittelpunkt F, benannt nach dem deutschen Mathematiker Karl Wilhelm FEUERBACH (1800 –1834). Zeige für ein beliebiges Dreieck, dass der Mittelpunkt F 1) genau in der Mitte zwischen dem Umkreismittelpunkt U und dem Höhenschnittpunkt H liegt, 2) auf der Euler'schen Geraden liegt! Zeige für ein gleichseitiges Dreieck, dass der 3) Feuerbach-Kreis zum Inkreis des Dreiecks wird! In jedem Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S und der Umkreismittelpunkt U auf einer Geraden, der Euler’schen Geraden e, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard EULER (1707‒1783). Der Inkreismittelpunkt I liegt im Allgemeinen nicht auf der Euler’schen Geraden (Abb. 7.6 a b); eine Ausnahme ist das gleichschenkelige Dreieck (Abb. 7.6 c). Abb. 7.6 a Abb. 7.6 b Abb. 7.6 c Bei gleichseitigen Dreiecken gibt es keine eindeutige Euler’sche Gerade, da alle vier Punkte in einem Punkt zusammenfallen. Durch diesen Punkt lassen sich beliebig viele Geraden legen, die alle als Euler’- sche Geraden aufgefasst werden könnten. Da eine Gerade aber nur durch zwei von einander verschiedene Punkte eindeutig bestimmt ist, kann es in diesem Fall keine Euler’sche Gerade geben. A A A B B B H H H S S S F F F I I I U U U e e e C C C A A’ B’ C’ B Mc Mb Hb Hc Ha F H U Ma C 7 203 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=