7.165 Spiegelt man den Umkreis eines Dreiecks ABC jeweils an dessen Dreiecksseiten, so schneiden einander die gespiegelten Kreislinien im Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! 7.166 Für alle spitzwinkeligen Dreiecke ABC gilt, dass der Höhenschnittpunkt H zugleich Inkreismittelpunkt des Dreiecks HaHbHc ist, wobei Ha, Hb und Hc die Fußpunkte der Höhen ha, hb und hc sind. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! 7.167 Südpolsatz: Für alle Dreiecke ABC gilt, dass die Seitensymmetrale einer Dreiecksseite und die Winkelsymmentrale des Winkels, der dieser Seite gegenüberliegt, einander auf dem Umkreis des Dreiecks schneiden. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! 7.168 Die Verbindungsstrecken zwischen einem Eckpunkt des Dreiecks ABC und dem Berührpunkt des Inkreises auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite schneiden einander in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt G, benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Diaz GERGONNE (1771‒1859). Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! 7.169 Für den Schwerpunkt S, den Inkreismittelpunkt I und den Nagel-Punkt N (Aufg. 7.112) gilt in jedem Dreieck _ IS _ SN= 12. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! Zusammenfassung Ein Dreieck ist eine ebene Figur mit drei Seiten, drei Eckpunkten und drei Winkeln. Die Summe der Winkelmaße ist in jedem Dreieck 180°. Man unterscheidet spitzwinkelige, stumpfwinkelige, gleichschenkelige, gleichseitige, rechtwinkelige und rechtwinkelig-gleichschenkelige Dreiecke. Dreiecke, bei denen entsprechende Seiten gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß sind, nennt man kongruent. Dies gilt im SSS-Fall, im SWS-Fall, im WSW- bzw. SWW-Fall sowie im SSW-Fall, wenn das Maß des Winkels gegeben ist, welcher der längeren Seite gegenüberliegt. Besondere Punkte beim Dreieck sind der Umkreismittelpunkt, der Inkreismittelpunkt, die Ankreismittelpunkte, der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt. Der Umfang eines allgemeinen Dreiecks ist u = a + b + c. Der Flächeninhalt in einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b ist A = (a·b)2. WIEDERHOLUNG: WISSEN 7.170 Skizziere ein allgemeines Dreieck, das 1) spitzwinkelig, 2) rechtwinkelig, 3) stumpfwinkelig ist und beschrifte es vollständig! 7.171 Was sagt die Dreiecksungleichung aus? O A A B H ha Hc Hb Ha hb hc C O A O A A B G Tc Tb Ta C O A O A 202 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv
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